1. 设H是群G的子群 , Σ={gH|g∈G} ,

试证明映射φ: G×Σ→Σ , (g₁ , gH)→(g₁g)H是群G在左陪集构成的集合Σ上的作用

证明: 对属于群G的任意g₁ , g₂ , g₃ , 若g₂H=g₃H , 则g₁g₂H=g₁g₃H , 即φ是映射 ,

又因为(g₁g₂)(gH)=g₁(g₂(gH)) , e(gH)=(eg)H=gH , 所以φ使得Σ成为一个G‒集 ,

2. 设G是有限群 , 集合S是G‒集 ,

若对属于S的任意s , t , 都有属于G的g , 使得gs=t , 试证明|G|=|S||G_s| ,

证明: 对属于S的任意t , 都有属于G的g , 使得t=gs ,

所以t属于Gs={gs|g∈G} , S=Gs , |S|=|Gs|=|G: G_s|

所以|G|=|G: G_s||G_s|=|S||G_s| ,

3. 设H是有限群G的子群 , 对属于G的任意g ,

试证明H的共轭子群gHg^‒1={ghg^‒1|h∈H}与H的阶数相同

证明: 令φ: H→gHg^‒1 , φ(h)=ghg^‒1 , 因为φ是一个双射 , 故|gHg^‒1|=|H| ,

4 . 证明子群间的共轭关系是等价关系

证明: (1)反身性: 对G的任意子群H , 有H=eHe^‒1 , 即反身性成立;

(2)对称性: 若子群H与N共轭 , 即存在属于G的x , 使得xHx^‒1=N ,

又因H=(x^‒1)N(x^‒1)^‒1 , 即N与H共轭;

(3)传递性: 若子群H与N共轭 , N与M共轭 ,

则存在属于G的x , y , 使得xHx^‒1=N , yNy^‒1=M ,

从而M=yxH(yx)^‒1 , 即H与M共扼 ,

因此 , 共扼关系是一个等价关系

5. 设G是群 , G的子群的集合为S={H|H是G的子群} , 试证明:

(1)映射φ: G×S→S , (g , H)→gHg^‒1是群G在集合S上的一个作用;

(2)对属于S的H , H的稳定子群是H在G中的正规化子 , 即G_H=N_G(H);

(3)对属于S的H , 轨道GH={H}⟺H是G的正规子群 ,

证明: (1)根据群在集合上作用的定义可得证 ,

(2)对属于S的任意H , G_H={g∈G|g(H)=H}={g∈G|gHg^‒1=H}=N_G(H) ,

(3)对属于S的任意H , GH={g(H)|g∈G|={gHg^‒1|g∈G} ,

H是G的正规子群的充要条件是与H共轭的子群只有本身 , 即GH=|H| ,

6. 确定交错群A₄中的所有共轭类 ,

解: A₄的共轭类为

{(1)} ,

{(12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

{(123) , (142) , (134) , (243)} ,

{(132) , (124) , (143) , (234)} ,

7. 试证明阶数为p²(p为素数)的群是交换群 ,

证明: 设|G|=p² , 则G的中心是p‒群 , 若|C(G)|=p , 则G/C(G)为p阶循环群 ,

从而G为交换群 ,

若|C(G)|=p² , 则C(G)=G , 从而G为交换群 ,

8. 试证明在同构意义下 , p²阶群仅有两类 ,

证明: 设群G的阶为p² , 若G中存在阶为p²的元素 , 则G是循环群 , G≅$Z_{p^{2}}$

否则G中存在阶为p的元素a , b , 使得⟨a⟩⋂⟨b⟩=0 ,

由上题知G是交换群 , 因此G=⟨a⟩⨁⟨b⟩ , 从而G≅Z_p×Z_p

习题1设G是群 , 关系a~b⟺存在属于G的g使得a=gbg^‒1 , 称为共轭关系 ,

试证明共轭关系是等价关系

证明: 因为a=eae^‒1 , 所以a~a;

若存在属于G的g使得a=gbg^‒1 , 即a~b , 则b=g^‒1ag , 即b~a;

若存在属于G的g和h , 使得a=gbg^‒1 , b=hch^‒1 , 即a~b , b~c ,

则a=(gh)c(gh)^‒1 , 即a~c ,

综上 , 共轭关系是等价关系 ,

习题2分别确定群S₃ , A₃中所有共轭类 ,

解: 群的元素在群的共轭作用下的轨道就是该元素所在的共轭类 ,

共轭类构成的集合是群的分类 ,

左陪集是群的一个分类 , 且每个左陪集含有的元素个数均相等 ,

尽管共轭类也是群的一个分类 , 但是每个共轭类所含元素的个数不一定相等 ,

但是 , 每个共轭类所含元素的个数一定是群的阶数的因数 ,

若a是中心元素 , 则与a共轭的元素只有a ,

因此 , 中心元素所在的共轭类仅含有一个元素 , 就是它本身

S₃的中心元素只有(1) , 因此S₃(1)={(1)} ,

计算可知S₃(12)={(12) , (23) , (13)} ,

由共轭类集合是群的分类及(123)不是中心元素可得S₃(123)={(123) , (132)} ,

综上 , S₃的所有共轭类为S₃(1) , S₃(12) , S₃(123) ,

A₃是交换群 , 所有元素在中心中 ,

因此 , A₃的共轭类有A₃(1) , A₃(123) , A₃(132) ,

习题3证明在群G的共轭作用之下 , 若b=gag^{‒1 ,} 则G_b=gG_ag^‒1 ,

证明: 若x属于G_{b ,} 则xb=bx , 代入b=gag^‒1得xgag^‒1=gag^‒1x ,

从而g^‒1xga=ag^‒1xg , 即g^‒1xg属于G_a , x属于gG_ag^‒1 ,

这说明G_b包含于gG_ag^‒1 ,

同理可证gC_ag^‒1包含于G_b ,

习题4在S₃中 , 求与子群H=⟨(12)⟩共轭的所有子群 ,

解: 注: 若H是G的子群 , 则H是正规子群⟺与H共轭的子群只有H本身 ,

例如 , 在S₃中 , 与A₃共轭的子群只有A₃ ,

H=⟨(12)⟩是2阶子群 , 与它共轭的子群也一定是2阶子群 ,

所以H的共轭子群有H , (13)H(13)^‒1=⟨(23)⟩ , (23)H(23)^‒1=⟨(13)⟩ ,

习题5设GL_n(R)是实数域上的一般线性群 ,

试证明A(v)=Av , 是GL_n(R)在Rⁿ(实数域上的n维向量空间)上的作用 ,

其中A属于GL_n(R) , v属于Rⁿ

证明: 设E是单位矩阵 , A , B是可逆矩阵 ,

根据矩阵运算的性质知E(v)=v , AB(v)=A(B(v)) , 从而Rⁿ是CL_n(R)‒集

习题6设H是G的子群 , 证明h(g)=hg是H在G上的作用 ,

其中h属于H , g属于G , 并求这个作用下的轨道 ,

证明: 因为e(g)=g , h₁ h₂(g)=h₁h₂g=h₁(h₂(g)) ,

所以h(g)=hg是H在G上的作用 ,

且g在这个作用下的轨道为Hg={hg|h∈H} , 这是G关于子群H的一个右陪集 ,

若H是有限群 , 则|H|=|Hg|=|H : H_g| , 即稳定子群为H_g={e} ,

习题7设S是G‒集 , 若对属于S的任意s , t , 都有属于G的g , 使得gs=t ,

则称S是可迁G‒集 , 试证明若S是可迁G‒集 , 则轨道只有一个 ,

证明: 由Gs={xs|x∈G}={xg^‒1t|x∈G}包含于Gt={xt|x∈G}={xgs|x∈G}包含于Gs

故得证 ,

习题8设H是G的子群 , 试证明G中与H共轭的子群的个数为|G: N_G(H)| ,

证明: 令S={gHg^‒1|g∈G} ,

因为φ: G×S→S , (g , aHa^‒1)→gaHa^‒1g^‒1是G在S上的作用 ,

对属于S的aHa^‒1和bHb^‒1 , 有aHa^‒1=ab^‒1(bHb^‒1) ,

即S是可迁G‒集 , 轨道只有一个 ,

令s=eHe^‒1=H属于S , 则|S|=|Gs|=|G: G_s| ,

这个作用下的稳定子群为G_s={g∈G|s=g(s)}={g∈G|H=gHg^‒1}=N_G(H) ,

所以|S|=|G: N_G(H)| ,

习题9设H , K是群G的两个p‒群 , H是G的正规子群 ,

试证明HK是G的p‒群 ,

证明: 因为p‒群的商群还是p‒群 , 所以K/(K⋂H)是p‒群 ,

再由群的第一同构定理得HK/H≅K/(K⋂H)是p‒群 , 从而HK是G的p‒群 ,

习题10设H是群G的正规子群 ,

令a属于H , $\overline{a}$={gag^‒1|g∈G}表示a所在的共轭类 , 试证明H是某些共轭类的并 ,

若某些共轭类的并H成为G的子群 , 则这个子群为正规子群 ,

证明: 因为a属于$\overline{a}$ , 所以第一个结论显然 ,

下证第二个结论 ,

对属于H的任意h , 对属于群G的任意g , 有ghg^‒1属于H ,

所以H是G的正规子群 ,

习题11求A₄的正规子群 ,

解: 直接计算可知A₄有4个共轭类:

{(1)} ,

{(12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

{(123) , (142) , (134) , (243)} ,

{(132) , (124) , (143) , (234)} ,

又因为A₄的子群阶可能为1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 ,

所以根据上题可知正规子群有{(1)} , K₄ , A₄

习题12 S₄是集合{1 , 2 , 3 , 4}上的对称群 , 因此{1 , 2 , 3 , 4}是S₄‒集 ,

求2的轨道和稳定子群 ,

解: 令G=S_{4 ,} M={1 , 2 , 3 , 4} , 则G2={σ(2)|σ∈S₄} ,

因为S₄是集合M上的所有双变换构成的 ,

因此σ(2)可以取遍M的所有元素 , 即2的轨道为G2=M ,

2的稳定子群为G₂={σ∈S₄|σ(2)=2}={(1) , (13) , (14) , (34) , (134) , (143)} ,

习题13将交错群A₄作用在集合{1 , 2 , 3 , 4}上 , 求2的轨道和稳定子群 ,

解: 令G=A_{4 ,} M={1 , 2 , 3 , 4} , 则2的轨道为G2={σ(2)|σ∈A₄}

因为{(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}包含于A₄ , 因此G2=M ,

2的稳定子群为G₂={σ∈A₄|σ(2)=2}={(1) , (134) , (143)} ,

习题14令H={(1) , (123) , (132)}是S₄的子群 , 将H作用在集合{1 , 2 , 3 , 4}上 ,

求2的轨道和稳定子群 ,

解: 令G=H , M={1 , 2 , 3 , 4} , 则2的轨道为G2={σ(2)|σ∈H}={1 , 2 , 3} ,

2的稳定子群为G₂={σ∈H|σ(2)=2}={(1)} ,

习题15证明p‒群G的非正规子群的个数一定是p的倍数 ,

证明: 设S是G的非正规子群构成的集合 ,

定义映射φ: G×S→S , (g , H)→gHg^‒1 , 则S是G‒集 , 从而|S|=Σ|G: G_H| ,

因为H不是正规子群 , 所以G_H≠G , $p\left| \left| G:G_{H} \right| \right.\$ , 因此$p\left| |S| \right.\$ ,