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1 , 设G是pk(p是素数)阶循环群 , 试证明pG是pk‒1阶循环群

证明: 因为G是pk阶循环群 , 所以G≅ Z p k Z_{p^{k}} ,

从而pG≅p Z p k Z_{p^{k}} ={ 0 ¯ \overline{0} , p ¯ \overline{p} , p × 2 ¯ \overline{p \times 2} , ⋯ , p × ( p k − 1 − 1 ) ¯ \overline{p \times (p^{k - 1} - 1)} } ,

作映射φ: Z p k − 1 Z_{p^{k - 1}} →p Z p k Z_{p^{k}} , i ¯ \overline{i} → p × i ¯ \overline{p \times i} , 则显然φ是同构映射 ,

故 Z p k − 1 Z_{p^{k - 1}} ≅ pG , 从而 , pG是 p k − 1 p^{k - 1} 阶循环群 ,

2 , 分别给出45 , 48和144阶交换群的所有同构类

解: 45阶交换群的同构类为

Z9⨁Z5 ,

Z3⨁Z3⨁Z5 ,

48阶交换群的同构类为

Z16⨁Z3 ,

Z8⨁Z2⨁Z3 ,

Z4⨁Z4⨁Z3 ,

Z4⨁Z2⨁Z2⨁Z3 ,

Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z3 ,

144阶交换群的同构类为

Z16⨁Z9 ,

Z16⨁Z3⨁Z3 ,

Z8⨁Z2⨁Z9 ,

Z4⨁Z4⨁Z9 ,

Z8⨁Z2⨁Z3⨁Z3 ,

Z4⨁Z4⨁Z3⨁Z3 ,

Z4⨁Z2⨁Z2⨁Z9 ,

Z4⨁Z2⨁Z2⨁Z3⨁Z3 ,

Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z9 ,

Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z3⨁Z3 ,

3 , 决定所有6阶群的同构类 ,

解: 若G是交换群 , 则G≅Z2⨁Z3 , 即G≅Z6 , 若G不是交换群 , 则G≅S3 ,

4 , 给出p2(p是素数)阶群的所有同构类 ,

解: 因为p2阶群为交换群 , 从而p2阶群有两类 , Z p 2 Z_{p^{2}} 和Zp⨁Zp

5 , 证明15阶群是交换群 , 从而是循环群 ,

证明1: 设G是15阶群 , 则G的3阶、5阶子群都各只有一个 ,

因而它们是G的正规子群 , 分别设为⟨a⟩和⟨b⟩ , 易知⟨a⟩⋂⟨b⟩={e} ,

由aba‒1b‒1属于(⟨a⟩⋂⟨b⟩)可知ab=ba , 这说明G是交换群 ,

从而G≅Z15是循环群

证明2: 因为15=3×5 , 而3∤4 , 5∤2 ,

故根据[习题2.8题4]可知15阶群是循环群 ,

6 , 设正整数m与n互素 , 证明Zm⨁Zn是循环群 , 且Zm⨁Zn≅Zmn ,

证明: 因为m与n互素可知Zm×Zn是mn阶循环群 , 所以Zm⨁Zn≅Zmn ,

7 , 设G是有限群 , H是G的一个西罗p‒子群 , 试证明NG(NG(H))=NG(H) ,

证明: 对属于NG(NG(H))的任意g , 有gNG(H)g‒1=NG(H) ,

又因H包含于NG(H) , 从而gHg‒1包含于NG(H) ,

令gHg‒1=K , 则H , K是NG(H)中的西罗p‒子群 , 那么H与K共轭 ,

即存在属于NG(H)的g0 , 使得K=g0H g 0 − 1 g_{0}^{- 1} =H ,

所以gHg‒1=H , 即g属于NG(H) , 因此NG(GN(H))包含于NG(H) ,

又因NG(H)包含于NG(NG(H)) , 故NG(H)=NG(NG(H)) ,

习题1给出克莱因四元群的直和分解与初等因子组 ,

解: 令K4={e , a , b , c} , 则K4=〈a〉×〈b〉=〈b〉×〈c〉=〈c〉×〈a〉 , 初等因子组为{2 , 2}

习题2设G是n阶交换群 , m是n的正因数 , 证明G有m阶子群 ,

证明: 根据有限交换群可以表示为循环群直和的性质

及拉格朗日定理的逆定理对于循环群成立 , 即可得证 ,

习题3分别求75和360的初等因子组和不变因子组 ,

解: 75=3×52 ,

初等因子组为{3 , 52} , {3 , 5 , 5} ,

不变因子组为{75} , {15 , 5} ,

360=23×32×5 ,

初等因子组为

{23 , 32 , 5} , {22 , 2 , 32 , 5} , {2 , 2 , 2 , 32 , 5} ,

{23 , 2 , 3 , 3 , 5} , {22 , 2 , 3 , 3 , 5} , {2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 5}

不变因子组为

{360} , {180 , 2} , {90 , 2 , 2} , {120 , 3} , {60 , 6} , {30 , 6 , 2} ,

习题4求28阶交换群的所有同构类

解: 所谓求n阶交换群的所有同构类 ,

即按照群的同构关系将群分类 , 在每类中取一个代表元 ,

即可得到所有互不同构的n阶交换群 , 称其为n阶交换群的所有同构类 ,

有限交换群可以表示成循环群的直和的形式 ,

我们将n分解成素因子幂的形式(素因子可以相同) , 即可得到初等因子组 ,

每个初等因子组可以决定一个n阶交换群 ,

因此 , 初等因子组的个数决定了同构类的个数 ,

将28写成素因子幂的形式 , 则初等因子组为{22 , 7} , {2 , 2 , 7} ,

28阶交换群的同构类有Z4⨁Z7 , Z2⨁Z2⨁Z7

利用初等因子组可以给出不变因子组{22×7} , {2×7 , 2}

由不变因子组也可以给出同构类Z28 , Z14⨁Z2

在求同构类时 ,

或按照初等因子组给出同构类 , 或按照不变因子组给出同构类即可 ,

习题5求504阶交换群的所有同构类 ,

解: 504=23×32×7 ,

初等因子组为 ,

{23 , 32 , 7} , {22 , 2 , 32 , 7} , {2 , 2 , 2 , 32 , 7} ,

{23 , 3 , 3 , 7} , {22 , 2 , 3 , 3 , 7} , {2 , 2 , 3 , 3 , 7}

则504阶交换群的所有同构类为

Z8⨁Z9⨁Z7 ,

Z4⨁Z2⨁Z9⨁Z7 ,

Z8⨁Z3⨁Z3⨁Z7 ,

Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z9⨁Z7 ,

Z4⨁Z2⨁Z3⨁Z3⨁Z7 ,

Z2⨁Z2⨁Z2⨁Z3⨁Z3⨁Z7