本节讨论两种特殊的理想 ,

即它能使商环具有便于我们了解和认识的代数结构: 整环和域 ,

定义5.1设R是非零交换环 , I是R的真理想 ,

如果对于R的任意一个包含I的理想J(I⊆J⊆R) , 必有J=I或J=R ,

则称I是R的极大理想 ,

定理5.1设R是非零的有1的交换环 , I是R的理想 ,

则当且仅当R/I是域时 , I是R的极大理想

证: 若I是R的极大理想 , 则I是R的真理想 , 即商环R/I是非零环 ,

由R是有1的交换环可知 , R/I是有1的交换环(R/I的单位元为1+I) ,

欲证R/I是域 , 我们只需说明R/I的非零元是可逆元 ,

为此令a属于R‒I , 那么由I是R的极大理想可知〈a〉+I=R ,

因为R是有1的交换环 , 所以存在属于R的b , 和属于I的i , 使得1=ab+i ,

从而$\overline{1}$=$\overline{ab + i}$=$\overline{a}\ \overline{b}$ , 即$\overline{a}$是可逆元 , 这就是说 , R/I确是一个域 ,

反之 , 若R/I是域 , 则由域至少含有两个元素可知 , I是R的真理想 ,

设J是R的真包含I的理想 , 则存在a属于J‒I , 即$\overline{a}$是R/I的非零元 ,

根据R/I是域可知$\overline{a}$是可逆元 , 即存在$\overline{b}$ , 使得$\overline{a}\overline{b}$=$\overline{1}$ ,

从而ab‒1属于I包含于J ,

但是 , 由于a属于J , 所以ab属于J , 从而1属于J , 也就是说 , R=J ,

因此 , I是R的极大理想 ,

例5.1证明在整数环Z中 , 当且仅当n是素数时 , ⟨n⟩是极大理想(n＞1) ,

证: 根据定理5.1有 , 当且仅当n是素数时 , Z_n=Z/⟨n⟩是域 ,

当且仅当Z/⟨n⟩是域时 , ⟨n⟩是极大理想(n＞1) ,

所以结论得证 ,

例5.2证明Z₁₈/⟨$\overline{3}$⟩是域

证: 由定理5.1可知 , 要证明Z₁₈/⟨$\overline{3}$⟩是域仅需指出⟨$\overline{3}$⟩是Z₁₈的极大理想 ,

而

{$\overline{0}$} ,

$\overline{2}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{2}$ , $\overline{4}$ , $\overline{6}$ , $\overline{8}$ , $\overline{10}$ , $\overline{12}$ , $\overline{14}$ , $\overline{16}$} ,

$\overline{3}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$ , $\overline{12}$ , $\overline{15}$} ,

$\overline{6}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{6}$ , $\overline{12}$} ,

$\overline{9}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{9}$}

和Z₁₈

是Z₁₈的所有理想 ,

显然包含⟨$\overline{3}$⟩的理想只有$\overline{3}$Z₁₈和Z₁₈ , 所以⟨$\overline{3}$⟩是Z₁₈的极大理想 ,

进而Z₁₈/⟨$\overline{3}$⟩是域 ,

例5.3由本章例3.8可知 , Z[i]/⟨1+i⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$}是域 ,

又因Z[i]是有单位元的交换环

所以 , 根据定理5.1可知 , 〈1+i〉是Z[i]的极大理想 ,

例5.4设R[x]是实数域上的一元多项式环 ,

试证明I={f(x) ∈ R[x] | f(0)=0}是R[x]的极大理想 ,

$$\mathbf{证:}因为映射\varphi:R\lbrack x\rbrack \rightarrow R,\ f(x) = \sum_{i = 0}^{n}{a_{i}x^{i}}\ \rightarrow a_{0}是环的满同态,并且Ker\ \varphi = I$$

所以 , 由环同态基本定理有R[x]/I≅R , 因此 , R[x]/I是域 , I是R[x]的极大理想

下面我们再研究能使商环成为整环的理想的性质和结构

定义5.2设R是非零交换环 , I是R的真理想 ,

如果对属于R的a , b , 由ab属于I , 可以推出a属于I或b属于I ,

则称I是R的素理想 ,

定理5.2若R是非零的有1的交换环 , I是R的理想 ,

则当且仅当R/I是整环时 , I是R的素理想 ,

证: 若I是R的素理想 , 则I是R的真理想 , 即R/I是非零环 ,

因为R是有1的交换环 , 所以R/I也是有1的交换环(R/I的单位元是1+I) ,

欲证R/I是整环 , 我们仅需要指出R/I中没有零因子 ,

为此设$\overline{a}\overline{b}$=$\overline{0}$ , 则ab属于I ,

又因I是R的素理想 , 所以a属于I或b属于I , 即$\overline{a}$=$\overline{0}$或$\overline{b}$=$\overline{0}$ ,

因此 , R/I是无零因子环 , 进而 , R/I是整环 ,

反之 , 若R/I是整环 , 则I是R的真理想 ,

令ab属于I , 则$\overline{a}\overline{b}$=$\overline{0}$ ,

因为R/I是无零因子环 , 所以$\overline{a}$=$\overline{0}$或$\overline{b}$=$\overline{0}$ , 即a属于I或b属于I ,

于是 , I是R的素理想

例5.5证明在整数环Z中 , 当且仅当n是素数时 , ⟨n⟩(n＞1)是素理想 ,

证: 根据定理5.2可知 , 当且仅当n是素数时 , Z_n=Z/⟨n⟩是整环 ,

当且仅当Z/⟨n⟩是整环时 , ⟨n⟩(n＞1)是素理想 , 所以结论得证 ,

例5.6证明剩余类环Z的理想⟨$\overline{3}$⟩是素理想 ,

证: 因为⟨$\overline{3}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{3}$} , 对属于Z₆的$\overline{a}$ , $\overline{b}$ ,

若$\overline{a}\overline{b}$属于⟨$\overline{3}$⟩ , 则存在属于Z的t , 使得$\overline{ab}$=$\overline{3t}$ ,

从而ab≡3t(mod 6) , 进而6|(ab‒3t) ,

因为3是素数 , 所以3|a或3|b , 即$\overline{a}$属于⟨$\overline{3}$⟩或$\overline{b}$属于⟨$\overline{3}$⟩ , 因此⟨$\overline{3}$⟩是素理想 ,

例5.7试证明在高斯整环Z[i]中 , 理想{0}是素理想 ,

证: 因为Z[i]是整环 , 所以对属于Z[i]的a , b ,

若ab属于{0} , 则a=0或者b=0 , 即{0}是素理想 ,

下面我们来看极大理想和素理想的关系 ,

从定理5.1和定理5.2容易看出 ,

当R是非零的有1的交换环时 , 极大理想是素理想 ,

从例5.7我们得到{0}⊆⟨1+i⟩⊆Z[i] , 即素理想不一定是极大理想 ,

但是 , 当R是非零的有1的有限交换环时 ,

根据有限整环是域可知 , 素理想是极大理想 ,

另外 , 当R是主理想整环时 , 素理想和极大理想也是等价的 , 证明如下 ,

定理5.3设R是主理想整环 , 若I是R的非零理想 ,

则当且仅当I是R的极大理想时 , I是R的素理想 ,

证: 因为整环是非零的有1的交换环 ,

所以若I是R的极大理想 , 则I是R的素理想 ,

反之 , 若I是R的素理想 , J是R的包含I的理想 ,

因为R是主理想整环 , 所以可以设I=⟨a⟩ , J=⟨b⟩ ,

由⟨a⟩包含于⟨b⟩可知存在属于R的c使得a=bc ,

因为I是R的非零理想 , 所以a≠0 , 进而c≠0 ,

因为⟨a⟩是R的素理想 , 所以由a=bc可推出b属于⟨a⟩或c属于⟨a⟩ ,

若b属于⟨a⟩ , 则⟨b⟩包含于⟨a⟩ , 即⟨a⟩=⟨b⟩ ,

若c属于⟨a⟩ , 则存在属于R的d使得c=ad=bcd , 从而(1‒bd)c=0 ,

由于c≠0 , 因此bd=1 , 即b是可逆元 , 从而⟨b⟩=R ,

也就是说包含I的理想只有I和R , 因此 , I是R的极大理想 ,

注意 , 若R没有单位元 , 那么极大理想不一定是素理想 ,

例5.8设环R=2Z , 则I=4Z是R的极大理想 , 但不是素理想 ,

证: 若设J是真包含I的R的理想 ,

则存在属于Z的a , 使得2a属于J且2a不属于I , 那么2与a互素 ,

从而存在整数u , v , 使得1=au+2v , 进而2=2au+4v属于J+I包含于J ,

因此 , 2Z包含于J , J=R , 这就是说 , I是R的极大理想 ,

另外 , 因为2不属于4Z , 但是2⦁2属于4Z , 所以I不是R的素理想 ,

习题