我们知道有理数集合Q=$\left\{ \left. \ \frac{a}{b} \right|a\ ,\ b \in Z\ ,\ b \neq 0 \right\}$

即整数环中任意两个元素的商(除数非零)构成有理数域 ,

整数环Z=$\left\{ \left. \ \frac{a}{1} \right|a \in Z \right\}$是域Q的子环 ,

本节我们将仿照Z与Q的关系 , 对任意一个整环 , 构造一个包含该整环的域 ,

设R是整环 , 令$\overline{R}$={(a , b)|a , b$\ \in \$R , b≠0} , 即$\overline{R}$是笛卡儿积R×R的子集合 ,

命题6.1若在R中定义关系: (a , b)~(c , d)⟺ad=cb , 则~是$\overline{R}$上的等价关系 ,

证: 显然 , ~满足反身性和对称性 , 下面我们证明~的传递性 ,

若(a , b)~(c , d) , (c , d)~(s , t) , 则ad=cb , ct=sd , 从而adt=cbt=bsd ,

又因d≠0 , 所以 , 由整环的消去律可知at=sb , 即(a , b)~(s , t) ,

也就是说 , ~满足传递性 , 因此 , ~是$\overline{R}$上的等价关系

根据等价关系~可以给出$\overline{R}$的分类 ,

$$若令\frac{a}{b}表示以(a\ ,\ b)为代表元的等价类\ \$$
则存在等价类构成的集合F=$\left\{ \left. \ \frac{a}{b} \right|a,b \in R,b \neq 0 \right\}$

我们知道 , 当且仅当(a , b)~(c , d)时 , 两个等价类相等 , 即$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

因此 , 当b≠0 , d≠0时 , ⟺ ad=bc

那么 , 对不等于0的任意r , 有$\frac{a}{b} = \frac{ra}{rb}$

命题6.2若利用整环R的运算 ,

$$将集合F上的运算定义为\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}和\frac{a}{b}⦁\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

则{F;+ , ⦁}是域 , 称其为整环R的分式域 ,

证: (1)如上定义的“+”和“⦁”确是F上的运算 , 即定义的运算与代表元的选取无关

若令$\frac{a}{b} = \frac{a_{1}}{b_{1}}$ , $\frac{c}{d} = \frac{c_{1}}{d_{1}}$则ab₁=a₁b , cd₁=c₁d ,

从而 ,

(ad+bc)(b₁d₁)=ab₁dd₁+bb₁cd₁=a₁bdd₁+bb₁c₁d=(a₁d₁+b₁c₁)bd ,

(ac)(b₁d₁)=(ab₁)(cd₁)=(a₁b)(c₁d)=(a₁c₁)(bd) ,

这说明$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}$=$\frac{a_{1}d_{1} + c_{1}b_{1}}{b_{1}d_{1}}$=$\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{c_{1}}{d_{1}}$ , $\frac{a}{b}⦁\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$=$\frac{a_{1}c_{1}}{b_{1}d_{1}}$=$\frac{a_{1}}{b_{1}}⦁\frac{c_{1}}{d_{1}}$

即“+”和“⦁”确是F上的运算 , {F;+ , ⦁}是一个有两个运算的代数系统 ,

(2){F;+}是加法交换群 ,

因为$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}$=$\frac{cb + ad}{bd}$=$\frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ , 所以加法满足交换律 ,

又因$\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) + \frac{s}{t} = \frac{ad + cb}{bd} + \frac{s}{t} = \frac{(ad + cb)t + s(bd)}{(bd)t}$ , $\frac{a}{b} + \left( \frac{c}{d} + \frac{s}{t} \right) = \frac{a}{b} + \frac{ct + sd}{dt} = \frac{adt + (ct + sd)b}{b(dt)}$

所以有$\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) + \frac{s}{t} = \frac{a}{b} + \left( \frac{c}{d} + \frac{s}{t} \right)$ , 即加法满足结合律 ,

当然 , $\frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a}{b}$ , $\frac{a}{b} + \frac{- a}{b} = \frac{0}{b^{2}} = \frac{0}{1}$ , 所以$\frac{0}{1}$是零元 , $\frac{- a}{b}$是$\frac{a}{b}$的负元 ,

(3){F^*;⦁}是乘法交换群 , 其中F^*=F$- \left( \frac{0}{1} \right)$ ,

因为$\left( \frac{a}{b}⦁\frac{c}{d} \right)⦁\frac{s}{t} = \frac{acs}{bdt} = \frac{a}{b}⦁\left( \frac{c}{d}⦁\frac{s}{t} \right)$ , $\frac{a}{b}⦁\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} = \frac{c}{d}⦁\frac{d}{b}$所以乘法满足结合律和交换律

对属于F的任意$\frac{a}{b}$ , 有$\frac{a}{b}⦁\frac{1}{1} = \frac{a}{b}$ , 即$\frac{1}{1}$是单位元 ,

又对属于F^*的任意$\frac{a}{b}$ , 有$\frac{a}{b}⦁\frac{b}{a} = \frac{1}{1}$ , 即$\frac{a}{b}$是可逆元 , $\frac{b}{a}$是$\frac{a}{b}$的逆元 ,

注意$\frac{0}{1} \neq \frac{1}{1}$

(4)乘法对加法满足分配律:

$$\left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right)⦁\frac{s}{t} = \frac{ad + cb}{bd}⦁\frac{s}{t} = \frac{(ad + cb)s}{(bd)t} = \frac{asd + cbs}{bdt}\ \ \$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$$

$$\frac{a}{b}⦁\frac{s}{t} + \frac{c}{d}⦁\frac{s}{t} = \frac{as}{bt} + \frac{cs}{dt} = \frac{asdt + csbt}{btdt} = \frac{asd + cbs}{bdt}\ \ \ \$$

至此 , {F;+ , ⦁}是域

$$\mathbf{命题6.3}整环R可视为其分式域F的子环,即映射\varphi:R \rightarrow F\ ,\ \ \ a \rightarrow \frac{a}{1}是环的单同态$$

证: 首先 , 映射φ保持运算:

$$\varphi(a + b) = \frac{a + b}{1} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1} = \varphi(a) + \varphi(b)$$

$$\varphi(a⦁b) = \frac{a⦁b}{1} = \frac{a}{1}⦁\frac{b}{1} = \varphi(a)⦁\varphi(b)$$

$$其次，当\frac{a}{1} = \frac{0}{1}时,必有a = 0,所以\varphi 是环的单同态$$

也就是说 , 我们可以视R为F的子环 ,

$$由此,我们可以将F的元素\frac{a}{1}与R的元素a等同起来,并记\frac{a}{1} = a$$

$$而对属于F的\frac{1}{b}\ ,\ 由\frac{b}{1}⦁\frac{1}{b} = \frac{1}{1}可知\frac{1}{b} = \left( \frac{b}{1} \right)^{- 1} = b^{- 1}$$
$$那么对属于F的任意\frac{a}{b}\ ,\ \ 我们有\frac{a}{b} = a⦁\frac{1}{b} = a⦁b^{- 1}$$
因此 , 分式域又可以写作集合F={ab^‒1|a , b ∈ R , b≠0} ,

定理6.1整环R的分式域F是包含R的最小域 ,

证: 设$\overline{F}$是包含R的域 , 且$\overline{F}$包含于F ,

因为对属于R的任意a , b , b≠0 , 有a , b属于$\overline{F}$ , ab^‒1属于$\overline{F}$ , 从而 , F包含于$\overline{F}$ , 得$\overline{F}$=F

所以 , 整环R的分式域是包含R的最小域 ,

定理6.2设F , F'分别是整环R , R'的分式域 ,

若φ是R到R'的环同构 , 则存在F到F'的域同构τ , 且τ|_R=φ ,

证: 对属于R的任意a , b , b≠0 , 我们定义τ: F→F' , ab^‒1→φ(a)φ(b)^‒1 ,

显然 , τ是F到F'的双射 , 事实上 , τ也保持运算 ,

对属于R的a₁ , a₂ , b₁ , b₂ , b₁≠0 , b₂≠0有

τ(a₁$b_{1}^{- 1}$+a₂$b_{2}^{- 1}$)

=τ((a₁b₂+a₂b₁)(b₁b₂)^‒1)=φ(a₁b₂+a₂b₁)[φ(b₁b₂)]^‒1

=[φ(a₁)φ(b₂)+φ(a₂)φ(b₁)][φ(b₁)φ(b₂)]^‒1

=[φ(a₁)φ(b₂)+φ(a₂)φ(b₁)]φ(b₂)^‒1φ(b₂)^‒1

=φ(a₁)φ(b₁)^‒1+φ(a₂)φ(b₂)^‒1=τ(a₁$b_{1}^{- 1}$)+τ(a₂$b_{2}^{- 1}$) ,

τ((a₁$b_{1}^{- 1}$)(a₂$b_{2}^{- 1}$))

=τ((a₁a₂)(b₁b₂)^‒1)=φ(a₁a₂)[φ(b₁b₂)]^‒1

=[φ(a₁)φ(a₂)][φ(b₁)φ(b₂)]^‒1

=[φ(a₁)φ(a₂)]φ(b₂)^‒1φ(b₁)^‒1

=[φ(a₁)φ(b₁)^‒1][φ(a₂)φ(b₂)^‒1]

=τ(a₁$b_{1}^{- 1}$)τ(a₂$b_{2}^{- 1}$) ,

所以 , τ是F到F'的域同构 ,

因为φ(1)是R'的单位元 ,

所以对属于R的任意a有τ(a)=τ$\left( \frac{a}{1} \right)$=$\frac{\varphi(a)}{\varphi(1)}$=φ(a) , 即τ|_R=φ ,

定理6.2说明: 整环R的分式域在同构意义下是唯一的 ,

例6.1易知 , 整数环Z的分式域是有理数域 , 域F的分式域是它本身 ,

而数域F上的一元多项式环F[x]的分式域为

$$F(x) = \left\{ \left. \ \frac{f(x)}{g(x)} \right|f(x)\ ,\ g(x) \in F\lbrack x\rbrack\ ,\ g(x) \neq 0 \right\}$$

例6.2求高斯整环Z[i]={a+bi|a , b属于Z}的分式域 ,

解: 因为Z[i]包含于C , 且在复数域C中 , 有

$$(c + di)^{- 1} = \frac{c - di}{c^{2} + d^{2}}$$

和

$$(a + bi)(c + di)^{- 1} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^{2} + d^{2}} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^{2} + d^{2}}$$

所以 , Z[i]的分式域为Q[i]={a+bi|a , b ∈ Q} ,

习题