1 , 证明I=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \right|a,b \in R \right\}$是矩阵环M₂(R)的左理想 , 但不是M₂(R)的右理想

证明:

因为$\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - c & 0 \\ b - d & 0 \end{pmatrix} \in I$ , $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s & 0 \\ t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} as + ct & 0 \\ bs + dt & 0 \end{pmatrix} \in I$ ,

所以I是M₂(R)的左理想 ,

因为$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \notin I$

所以I不是M₂(R)的右理想 ,

2 , 设R是交换环 , S是环R的非空子集 , 令Ann(S)={a∈R|as=0 , ∀s∈S} ,

试证明Ann(S)是R的理想 ,

证明: 对属于Ann(S)的任意a , b , 都有as=bs=0 ,

从而(a‒b)s=0 , 即a‒b属于Ann(S) ,

对属于Ann(S)任意a , 和属于R的任意r , 都有(ar)s=r(as)=0 , (ra)s=r(as)=0 ,

从而ar , ra属于Ann(S) ,

故Ann(S)是R的理想 ,

3 , 设R是有1的交换环 , I是R的理想 ,

试证明J={a ∈ R | ∃ n ∈ N , aⁿ∈I}是R的理想 ,

证明: 对属于J的任意a , b , 存在有属于N的m , n , 使得a^m属于I , bⁿ属于I ,

$$则(a - b)^{m + n} = \sum_{i = 0}^{m + n}\begin{pmatrix} m + n \\ i \end{pmatrix}a^{i}\ ⦁\ ( - b)^{m + n - i}\$$

由于I是R的理想 , 从而(a‒b)^m+n属于I , 即a‒b属于J ,

对属于R的任意r , 和属于J的任意a , 有(ra)ⁿ=rⁿaⁿ属于I ,

故J是R的理想 ,

4 , 问环的中心是否一定是理想?四元数体的中心是否是理想?

证明: 因为与所有矩阵可交换的矩阵为纯量矩阵 ,

所以数域F上的n阶矩库环M_n(F)的中心为FE ,

而FE不是M_n(F)的理想 ,

四元数体的中心为$\left\{ \lambda\left. \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right|\ \lambda \in R \right\}$ , 它不是理想

5 , 求剩余类环Z₂₄的所有理想 ,

解: Z₂₄的所有理想形式为⟨$\overline{s}$⟩ , s|24 , 1⩽s⩽24 ,

故Z₂₄的全部理想为⟨$\overline{1}$⟩ , ⟨$\overline{2}$⟩ , ⟨$\overline{3}$⟩ , ⟨$\overline{4}$⟩ , ⟨$\overline{6}$⟩ , ⟨$\overline{8}$⟩ , ⟨$\overline{12}$⟩ , ⟨$\overline{24}$⟩ ,

6 , 证明实数域R上矩阵环M₂(R)是单纯环 ,

证明: 设I为M₂(R)的任一理想 , 任取I的一个非零元素A=(a_ij) ,

则存在不等于0的a_ij , 使得E_ij=$\frac{1}{a_{ij}}$E_iiAE_jj属于I , 进而E_kk=E_kiE_ijE_jk属于I(k=1 , 2) ,

故E=E₁₁+E₂₂属于I , 由此得I=M₂(R) , 环M₂(R)没有非平凡理想 ,

所以实数域R上矩阵环M₂(R)是单纯环

7 , 证明$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \right|\ a,b,c \in R \right\}$是环 , 并求R的所有理想

证明: 因为M_n(R)是环 ,

又因对属于R的任意A=$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ , 和对属于R的任意B=$\begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix}$

有A‒B=$\begin{pmatrix} a - d & b - e \\ 0 & c - f \end{pmatrix}$属于R , AB=$\begin{pmatrix} ad & ae + bf \\ 0 & cf \end{pmatrix}$属于R

从而R是M_n(R)的子环 , 故R是环 ,

令i=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , j=$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , k=$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , 得ii=i , ij=j , jk=j , kk=h , 其余运算为零

设I是R的非零理想 , 令0≠$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$=ai+bj+ck属于I ,

则(ai+bj+ck)i=ai属于I , (ai+bj+ck)j=aj属于I , (ai+bj+ch)k=bj+ck属于I

i(ai+bj+ck)=ai+bj属于I , j(ai+bj+ck)=cj属于I , k(ai+bj+ch)=ck属于I ,

(1)若a≠0 , 则i , j属于I ,

此时 , 若k属于I , 则I=R , 若k不属于I , 则I=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|\ a,b \in R \right\}$

(2)若a=0 , c=0 , 则I=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|\ b \in R \right\}$

(3)若a=0 , c≠0 , 则j , k属于I , 此时 , I=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \right|\ b,c \in R \right\}$

R的所有理想为:

I₁=$\left\{ 0 \right\}$ ,

I₂=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|\ a,b \in R \right\}$

I₃=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|\ b \in R \right\}$ ,

I₄=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \right|\ b,c \in R \right\}$

I₅=R ,

8 , 在整数环Z中 , 证明⟨m⟩⋂⟨n⟩=⟨[m , n]⟩ , 其中[m , n]是m和n的最小公倍数 ,

证明: 若t属于⟨m⟩⋂⟨n⟩ , 则m|t , n|t ,

从而 , [m , n]|t , t属于⟨[m , n]⟩ , ⟨m⟩⋂⟨n⟩包含于⟨[m , n]⟩ ,

反之 , 由m|[m , n]得⟨[m , n]⟩包含于⟨m⟩ , 同理⟨[m , n]⟩包含于⟨n⟩ ,

得⟨[m , n]⟩包含于⟨m⟩⋂⟨n⟩ ,

所以⟨m⟩⋂⟨n⟩=⟨[m , n]⟩

9 , 在整数环Z中 , 将以下理想表示为主理想的形式:

(1)⟨{6 , 10}⟩; (2)⟨6⟩+⟨10⟩; (3)⟨6⟩⋂⟨10⟩; (4)⟨6⟩⟨10⟩ ,

解: (1)⟨{6 , 10}⟩=⟨(6 , 10)⟩=⟨2⟩ , (2)⟨6⟩+⟨10⟩=⟨(6 , 10)⟩=⟨2⟩ ,

(3)⟨6⟩⋂⟨10⟩=⟨[6 , 10]⟩=⟨30⟩ , (4)⟨6⟩⟨10⟩=⟨60⟩ ,

10 , 试分别求Z和Z₂₄的所有商环 ,

解: Z理想为⟨n⟩ , n⩾0 , 所以Z的所有商环为Z , {0} , Z_n(n⩾2) ,

Z₂₄的所有理想为⟨$\overline{0}$⟩ , ⟨$\overline{1}$⟩ , ⟨$\overline{2}$⟩ , ⟨$\overline{3}$⟩ , ⟨$\overline{4}$⟩ , ⟨$\overline{6}$⟩ , ⟨$\overline{8}$⟩ , ⟨$\overline{12}$⟩ ,

因此Z的所有商环为

Z₂₄/⟨0⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{1}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{2}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{3}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{4}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{6}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{8}$⟩ , Z₂₄/⟨$\overline{12}$⟩ ,

11 , 设I是环R的理想 , 证明R的包含I的理想与R/I的理想一一对应 ,

特别地 , R/I的任意一个理想形如J/I , 其中J是R的包含I的理想 ,

证明: 若J是环R的理想 , 且I包含于J , 则J/I是R/I的理想 ,

令A是R的包含I的理想的集合 , B是R/I的理想的集合 ,

定义映射: φ: A→B , J→J/I , 若$\overline{J}$是R/I的理想 , 则I属于$\overline{J}$ ,

令J={j∈R | j+I ∈ $\overline{J}$} , 显然 , I包含于J且J是R的理想 ,

又因有φ(J)=$\overline{J}$ , 这说明φ是满射 ,

若J₁/I=J₂/I , 则对属于J₁的任意j₁ , 存在属于J₂的j₂ , 使得j₁+I=j₂+I ,

从而存在属于I的i , 使得j₁=j₂+i属于J₂ , 因此 , J₁包含于J₂ ,

同样的 , 我们有J₂包含于J₁ , 所以J₁=J₂ , 这说明φ是单射 , 因而φ是双射 ,

由此也得到 , R/I的任意一个子群形如J/I , 其中J是R的包含I的理想

12 , 求同余式方程组$\left\{ \begin{array}{r} x \equiv 1(mod\ 2) \\ x \equiv 2(mod\ 3) \\ x \equiv 3(mod\ 5) \end{array} \right.\$ 的一个解 ,

解: 由带余除法得

1=2×(‒7)+(3×5)×1 ,

1=3×(‒3)+(2×5)×1 ,

1=5×(‒1)+(2×3)×1 ,

所以取

y₁=3×5×1=15 ,

y₂=2×5×1=10 ,

y₃=2×3×1=6 ,

从而x=1×21+1×15+2×10+3×6=53 ,

习题1举例说明一个无零因子环R的商环可能有零因子 ,

解: 整数环Z是无零因子环 , 商环Z/⟨4⟩=Z₄有零因子 ,

习题2举例说明一个环R的两个子环H , K的和H+K不一定是R的子环 ,

解: 令R=M₂(C) , 则H=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|a \in C \right\}$ , K=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \right|b \in C \right\}$都是R的子环 ,

而H+K=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \right|a,b \in C \right\}$ , 当ab≠0时 , $\begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} ab & 0 \\ 0 & ab \end{pmatrix}$不属于H+K

故H+K不是R的子环 ,

习题3在环{Z;+ , ⦁}中 , 设S={0 , 1 , 2} , T={3 , 4} , 求S+T , ST ,

解: S+T={3 , 4 , 5 , 6} ,

因为ST={3i+4j+6k+8l | i , j , k , l ∈ N} , 所以6+3i , 7+3i , 8+3i属于ST , i属于N

因此 , ST=N‒{1 , 2 , 5} ,

习题4设m , n是整数环Z中的正整数 , 证明

(1)⟨m⟩包含于⟨n⟩⟺n|m;

(2)⟨m⟩+⟨n⟩=Z⟺(m , n)=1 , 其中(m , n)表示m , n的最大公因数 ,

证明: (1)由⟨m⟩={mt | t ∈ Z}即可得证

(2)因为⟨m⟩+⟨n⟩=⟨(m , n)⟩ , 而⟨(m , n)⟩=Z⟺(m , n)=1 , 所以结论得证 ,

习题5设Z₁₂中的子环H={$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$} , K={$\overline{0}$ , $\overline{4}$ , $\overline{8}$} ,

求H+K , H⋂K , H⋃K , HK

解: H+K=Z₁₂

H⋂K={$\overline{0}$} ,

H⋃K={$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$ , $\overline{4}$ , $\overline{8}$} ,

HK={$\overline{0}$} ,

习题6设R为环 , C(R)={c∈R|rc=cr , ∀r∈R}是R的中心 ,

(1)证明C(R)是R的子环 , 但未必是R的理想;

(2)如果F为域 , 求证矩阵环M_n(F)的中心为{aE_n|a∈F} ,

其中E表示n阶单位方阵

证明: (1)显然C(R)是非空集合 ,

由a , b 属于C(R) , r属于R , 得 a‒b属于C(R) , ab属于C(R) ,

根据子环判别定理知C(R)是R的子环 ,

(2)由高等代数的知识可知M_n(F)的中心为纯量矩阵{aE_n|a∈F} ,

故M_n(F)的中心不是理想 ,

习题7证明数域F上的矩阵环M_n(F)是单纯环 ,

证明: 设I是M_n(F)中任一个非零理想 , 只需证明单位矩阵在I中 ,

设E_ij为(i , j)位置元素为1 , 其余元素全为0的n阶矩阵 ,

因为I≠0 , 则有不等于0的矩阵A∈I ,

设A=(a_ij)_n×n , 则有元素a_kl≠0 ,

由理想的性质得($a_{kl}^{- 1}$E_ik)AE_li属于I , 但是($a_{kl}^{- 1}$E_ik)AE_li=E_ii , i=1 , 2 , ⋯ , n ,

$$所以有E = \sum_{i = 1}^{n}E_{ii}\ 属于\ I\ \ 即I = M_{n}(F)\ \$$

因而M_n(F)中没有非平凡理想 , M_n(F)是单纯环 ,

习题8设R是非零、有1的交换环 , 证明当且仅当R是域时 , R是单纯环 ,

证明: 充分性显然 ,

必要性 , 假如R不是域 , 则存在非零的属于R的不可逆元a ,

于是⟨a⟩就是R的非平凡理想 , 这与R是单纯环矛盾 ,

习题9若H , K是环{R;+ , ⦁}的理想 ,

$$问HK = \left\{ \left. \ \sum_{i = 1}^{n}{h_{i}k_{i}} \right|h_{i} \in H,k_{i} \in K,n \in Z^{+} \right\} 是否是\{ R; + ,⦁\} 的理想?\$$

证明: 设a , b属于HK ,

$$则存在属于H的h_{i}\ ,和属于K的k_{i}\ ,使得a = \sum_{i = 1}^{m}{h_{i}k_{i}}\ ,b = \sum_{i = 1 + m}^{m + n}{h_{i}k_{i}}\ \$$

对属于R的任意r ,

$$\ 有\ a - b = \sum_{i = 1}^{m}{h_{i}k_{i}} - \sum_{i = 1 + m}^{m + n}{h_{i}k_{i}}属于HK\ \$$

$$有ra = r\sum_{i = 1}^{m}{h_{i}k_{i}} = \sum_{i = 1}^{m}{{(rh}_{i})k_{i}}\ 属于HK\ \ \ \$$

$$有ar = \left( \sum_{i = 1}^{m}{h_{i}k_{i}} \right)r = \sum_{i = 1}^{m}{h_{i}(k_{i}r)}\ 属于HK\$$

故HK是R的理想 ,

习题10设R是交换环 , 证明Rad(R)={a∈R|∃n ∈Z⁺ , aⁿ=0}是R的理想 ,

证明: 因Rad(R)非空 ,

设a , b属于Rad(R) , 则存在属于Z⁺的m , n使得a^m=bⁿ=0 ,

于是对属于R的任意r有

$$(a - b)^{m + n} = a^{m + n} + \sum_{k = 1}^{m + n}{( - 1)^{k}C_{m + n}^{k}}a^{m + n - k}b^{k} + ( - 1)^{m + n}b^{m + n} = 0\$$

(ra)^m=r^ma^m=0

所以a‒b , ra属于Rad(R) , Rad(R)是R的理想 ,

习题11设S是环R的非空子集 , I是环R的理想 , 且I包含于S , 证明

(1)若S是环R的子环 , 则S/I是R/I的子环;

(2)若S是环R的理想 , 则S/I是R/I的理想 ,

证明:

(1)设x , y属于S , 则x+I , y+I属于S/I , 于是x‒y , xy属于S ,

(x+I)‒(y+I)=(x‒y)+I属于S/I ,

(x+I)(y+I)=xy+I属于S/I ,

所以S/I是R/I的子环 ,

(2)设x , y属于S , r属于R , 于是x‒y , xr , rx属于S ,

(x+I)‒(y+I)=(x‒y)+I属于S/I ,

(r+I)⦁(x+I)=rx+I属于S/I ,

(x+I)⦁(r+I)=xr+I属于S/I ,

所以S/I是R/I的理想 ,

习题12求商环Z[i]/⟨2+i⟩ ,

解: 因为a+bi=(a‒2b)+b(2+i) , 所以$\overline{a + bi}$ =$\overline{a - 2b}$ ,

再由5=(2+i)(2‒i)知 $\overline{a + bi}$=$\overline{r}$ , r=0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,

设i , j属于{0 , 1 , 2 , 3 , 4} , 若$\overline{i}$=$\overline{j}$ , 则2+i | i‒j ,

从而5|(i‒j)² , 那么i=j , 即Z[i]/⟨2+i⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$ , $\overline{4}$} ,

习题13证明$I = \left\{ \left. \ \begin{pmatrix} 0 & 2x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right|x \in Z \right\} 是R = \left\{ \left. \ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \right|a,b,c \in Z \right\}$的理想 ,

并求商环R/I ,

证明: 对属于Z的a , b , c , x , y有 ,

$\begin{pmatrix} 0 & 2x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2y \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 0 & 2(x - y) \\ 0 & 0 \end{pmatrix}属于I$

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 0 & 2ax) \\ 0 & 0 \end{pmatrix}属于I$

$\begin{pmatrix} 0 & 2x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 0 & 2cx) \\ 0 & 0 \end{pmatrix}属于I$

根据理想的判别定理知I是R的理想 ,

且R/I=$\left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix} + I,\left. \ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix} + I\ \right|a,c \in Z \right\}$

习题14设I₁ , ⋯ , I_n , ⋯均是环R的理想 , 且I₁⊆₂I⊆⋯⊆I_n⊆⋯ ,

$$试证明集合I = \bigcup_{i = 1}^{\infty}I_{i}是环R的理想\$$

证明: 若a , b属于I , 则存在j使得a , b属于I_{j ,}

对属于R的任意r有a‒b , ra , rb属于I_j包含于I ,

因此I是环R的理想 ,

习题15设R是有单位元的非零环 ,

试证明当且仅当R内无非零的真左理想时 , R是除环

证明: 充分性 , 设a是R的非零元 , Ra是非零左理想 ,

所以Ra=R , 那么存在属于R的b使得ba=1 ,

同理 , 因为b是R的非零元 , 所以存在属于R的c使得cb=1 ,

从而ab=(cb)(ab)=cb=1 , 即a可逆 , 因此 , R是除环 ,

必要性 , 假设I是R的非零左理想 , 令a属于I , a不等于0 ,

因为R是除环 , 所以a是可逆元 , 从而R=I , 即R内没有非零的真左理想 ,

习题16设I是环R的一个左理想 ,

试证明I的左零化子N={x属于R|xI=0}是R的理想 ,

证明: 对属于N的任意x , y , 属于R的任意r , 和属于I的任意a ,

有(x‒y)a=xa‒ya=0 , rxa=0 , xra=0 ,

即x‒y属于N , rx , xr属于N , 从而N是R的一个理想 ,

习题17设R是有1的环 , I , J , K是R的理想 ,

试证明(I+J)K=IK+JK , K(I+J)=KI+KJ ,

证明: 由I包含于I+J知IK包含于(I+J)K , 同理JK包含于(1+J)K ,

故IK+JK包含于(I+J)K ,

$$令\sum_{i = 1}^{n}{\left( a_{i} + b_{i} \right)k_{i}属于(I + J)K},其中a_{i}属于I,b_{i}属于J,k_{i}属于K,i = 1,2,\cdots,n\ \$$

$$则\sum_{i = 1}^{n}{\left( a_{i} + b_{i} \right)k_{i} =}\sum_{i = 1}^{n}{a_{i}k_{i} +}\ \sum_{i = 1}^{n}{b_{i}k_{i}\ 属于IK + JK}\ \$$

即(I+J)K包含于IK+JK , 从而(I+J)K=IK+JK , 同理可证K(I+J)=KI+KJ ,

习题18设R是有1的环 , I , J , K是R的理想 , 且I+K=R=J+K , 证明IJ+K=R ,

证明: 由已知条件 , 存在属于I的a , 属于J的b以及属于K的k₁ , k₂ ,

使得a+k₁=1 , b+k₂=1 ,

两个式子相乘得ab+(ak₂+k₁b+k₁k₂)=1 ,

其中ab属于IJ , ak₂+k₁b+k₁k₂属于K , 即1属于IJ+K ,

从而IJ+K=R ,

习题19设R是有1的交换环 , I₁ , I₂ , ⋯ , I_n , 为R的理想 ,

且I_s+I_t=R , 其中s , t=1 , 2 , ⋯ , n , s≠t , 试证明I₁I₂⋯I_n=I₁⋂I₂⋂⋯⋂I_n

证明: 对n用数学归纳法 ,

当n=2时 , 由已知条件知 , 存在属于I₁的x , 和属于I₂的y , 使得x+y=1 ,

对属于I₁⋂I₂的a ,

有a=a(x+y)=xa+ay属于I₁I₂ , 即I₁⋂I₂包含于I₁I₂ , 同样有I₁I₂包含于I₁⋂I₂ ,

故n=2时结论成立 ,

假设结论对n‒1成立 , 即有I₁I₂⋯I_n‒1=I₁⋂I₂⋂⋯⋂I_n‒1 ,

我们利用n=2时的证明方法可证得I₁I₂⋯I_n=I₁⋂I₂⋂⋯⋂I_n

习题20求同余式方程组$\left\{ \begin{array}{r} x \equiv 3(mod5) \\ x \equiv 4(mod7) \end{array} \right.\$ 的一个解

解: 因为1=3⦁5+(‒2)⦁7 , 故解为x=3⦁(‒14)+4⦁15=18