在介绍环的定义之前 , 我们有必要回顾一下交换群的概念和简单性质 ,

运算满足交换律的群称为交换群 , 交换群的运算称为加法运算 , 并用加号表示

交换群的单位元称为零元 , 用0表示 , 每个元素a的逆元称为负元 , 用‒a表示

在交换群中 , 我们可以定义减法运算: a‒b=a+(‒b) , 它是加法的逆运算 ,

若规定0a=0(第一个0是数零 , 第二个0是零元) , 并对正整数n规定

na=a+a+⋯+a , ‒na=(‒a)+(‒a)+⋯+(‒a)

n个(‒a)

n个a

则对任意整数m , n以及群中的元素a , b , 我们有下列运算性质:

(1)m(a+b)=ma+mb;

(2)(m+n)a=ma+na;

(3)m(na)=(mn)a=n(ma) ,

定义1.1如果代数系统{R;+ , ⦁}满足以下条件:

(1){R;+}是交换群;

(2){R;⦁}是半群;

(3)运算“⦁”对“+”满足分配律 , 即a⦁(b+c)=a⦁b+a⦁c , (b+c)⦁a=b , a+c⦁a ,

则称代数系统{R;+ , ⦁}是环 , 简称R是环 ,

今后 , 我们称环{R;+ , ⦁}中的运算“+”为加法运算 , “⦁”为乘法运算 ,

并将加法群{R;+}的单位元素称为R的零元 , 用0表示 ,

将a关于加法运算的逆元称为a的负元 , 用‒a表示 ,

特别地 , 如果环R的乘法运算还满足交换律 , 即a⦁b=b⦁a ,

其中任意a , b属于R , 那么称R为交换环 , 否则 , 称R是非交换环 ,

如果环R中存在元素e , 使得对属于R的任意a , 有e⦁a=a⦁e=a ,

则称e是R的单位元 , 并称环R是有单位元的环 ,

若R是有单位元的环 , 则易知R的单位元是唯一的 ,

我们也时常用1表示环R中的单位元 , 并将有单位元的环称为有1的环 ,

设R是有1的环 , 对属于R的任意a , 若存在属于R的b , 使得b⦁a=a⦁b=1 ,

则称a是可逆元 , b是a的逆元 , 若a是可逆元 , 则a的逆元是唯一的

事实上 , 若b , c均为a的逆元 , 则b=b⦁1=b⦁(a⦁c)=(b⦁a)⦁c=1⦁c=c

一般地 , 我们用a^‒1表示a的逆元 ,

环的运算性质 , 除了在本节开始介绍的三个关于加法运算的性质 ,

还有下列关于乘法运算的性质 ,

命题1.1设{R;+ , ⦁}是环 , 则对属于R的任意a , b , 和属于Z的n , 有

(1)0⦁a=0=a⦁0;

(2)(‒a)⦁b=‒(a⦁b)=a⦁(‒b);

(3)(na)⦁b=n(a⦁b)=a⦁(nb);

(4)若环R是有1的环 , 则(‒1)⦁a=‒a ,

证: (1)由零元的定义及分配律可知 , 0+0⦁a=0⦁a=(0+0)⦁a=0⦁a+0⦁a ,

再根据加法群的消去律 , 得到0=0⦁a , 类似地 , 可证0=a⦁0

(2)由分配律和性质(1)可知 , (‒a)⦁b+(a⦁b)=(‒a+a)⦁b=0⦁b=0 ,

即(‒a)⦁b=‒(a⦁b) , 类似地 , 可证‒(a⦁b)=a⦁(‒b) ,

(3)当n是非负整数时 , 易知(na)⦁b=n(a⦁b)=a⦁(nb) ,

若n是负整数 , 则由分配律和(2)得(na)⦁b=((‒n)(‒1)a)⦁b=((‒n)(‒a))⦁b=(‒n)(‒ab)=(‒n)(‒(a⦁b))=n(a⦁b) ,

类似地 , 可证a⦁(nb)=n(a⦁b) ,

(4)由单位元的定义及分配律有(‒1)⦁a+a=(‒1)⦁a+1⦁a=(‒1+1)⦁a=0⦁a ,

再由0⦁a=0得证 ,

下面给出具有环结构的一些代数系统的例子

例1.1整数集合关于数的加法和乘法运算({Z;+ , ⦁})是有单位元的交换环 ,

称为整数环 ,

整数环{Z;+ , ⦁}中的零元是数0 , 单位元是数1 , n的负元是‒n , 可逆元是±1 ,

有理数集合Q、实数集合R及复数集合C关于数的加法和乘法运算也都是交换环 , 分别称为有理数域、实数域和复数域 ,

数域F上n阶方阵集合M_n(F)关于矩阵的加法和乘法运算

构成有单位元的非交换环 , 称为数域F上的矩阵环 ,

矩阵环{M_n(F);+ , ⦁}中的零元是n阶零矩阵 , 单位元是n阶单位矩阵 ,

M_n(F)中元素A的负元是‒A , 而M_n(F)中的可逆元是可逆矩阵 ,

数域F上一元多项式集合F[x]关于多项式的加法和乘法运算

构成有单位元的交换环 , 称为数域F上的一元多项式环 ,

F[x]中的零元是数0 , 单位元是数1 ,

F[x]中多项式f(x)的负元是‒f(x) , F[x]中的可逆元是零次多项式 ,

{Z_n;+ , ⦁}是有单位元的交换环 , 称为模n的剩余类环 ,

Z_n中的零元是0 , 单位元是1 , 元素a的负元是$\overline{n - a}$ ,

Z_n中的元素a是可逆元的充分必要条件是a与n互素 ,

例1.2证明Z[i]={a+bi|a , b都属于Z}是有单位元的交换环(高斯整环) ,

其中i是虚数单位

证: 对属于Z的任意a₁ , a₂ , b₁ , b₂ ,

有(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i属于Z[i] ,

(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=(a₁a₂‒b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i属于Z[i] ,

即复数域的加法运算和乘法运算也是Z[i]的加法和乘法运算 ,

又因Z[i]是复数域的子集 ,

所以在Z[i]上的加法运算和乘法运算都满足结合律和交换律 ,

且乘法运算对加法运算满足分配律 ,

易知 , Z[i]的零元是数0 , 单位元是数1 , 元素a+bi的负元是‒a‒bi ,

因此根据环的定义可知 , Z[i]是有单位元的交换环

例1.3求高斯整环Z[i]的可逆元 ,

解: 若令属于Z[i]的α=a+bi , 并且我们用N(α)表示α的范数 , 即N(α)=a²+b² ,

则对任意属于Z[i]的α , β , 有N(αβ)=N(α)N(β) ,

若α=a+bi是Z[i]的可逆元 ,

则存在属于Z[i]的β , 使得αβ=1 , 故1=N(αβ)=N(α)N(β) ,

所以N(α)=1 , α=±1 , ±i , 因此 , Z[i]的可逆元有±1 , ±i ,

命题1.2设R是有1的环 , 若U(R)表示R中所有可逆元构成的集合 ,

则U(R)关于R的乘法运算构成群 , 我们称其为环R的单位群 ,

证: 显然 , 1属于U(R) , 即U(R)是非空集合 ,

又因可逆元的乘积还是可逆元((ab)^‒1=b^‒1a^‒1) ,

所以R的乘法运算也是U(R)的乘法运算 ,

而环R的乘法运算满足结合律 ,

故在R的子集合U(R)上的乘法运算也满足结合律 ,

再若a属于U(R) , 则a^‒1属于U(R) , 所以U(R)关于R的乘法运算构成群 ,

易知 , U(Z)={±1} ,

U(Q)=Q‒{0} ,

U(M_n(R))=GL_n(R) ,

U(Z₃)={$\overline{1}$ , $\overline{2}$} ,

U(Z₄)={$\overline{1}$ , $\overline{3}$} ,

U(Z[i])={1 , ‒1 , i , ‒i} ,

定义1.2设{R;+ , ⦁}是一个环 , S是R的非空子集 ,

若S关于R的加法运算和乘法运算也构成一个环 ,

则称{S;+ , ⦁}是{R;+ , ⦁}的子环 , 简称S是R的子环 , 也称R是S的扩环 ,

显然 , {0}和R都是R的子环 , 称为平凡子环 ,

注意 , 在环{0}中的零元和单位元相等 , 称{0}为零环 , 其他环称为非零环 ,

定理1.1设S是环R的非空子集 , 则S是R的子环的充分必要条件是 ,

对属于S的任意a , b , 有a‒b属于S , ab属于S ,

证: 必要性是显然的 , 下面证明充分性 ,

由a‒b属于S可知 , S关于环R的加法运算是群 ,

又由ab属于S可知 , 环R的乘法运算也是S的乘法运算 , 并且满足结合律 ,

再由S是环R的非空子集可知 , R的分配律在S上也成立 ,

因此 , S是R的子环 ,

例1.4因为子环关于环的加法运算是子群 ,

因此 , 我们可以通过环的加法子群找其所有子环 ,

我们已经知道{Z;+}的所有子群为{〈n〉|n是非负整数} , 其中〈n〉={rn|r∈Z} ,

对于每个子群〈n〉 , 根据定理1.1可知 , 〈n〉是整数环Z的子环 ,

因此 , Z的所有子环为{〈n〉|n是非负整数} ,

特别地 , 当n不等于1时 , 子环〈n〉是没有单位元的交换环 ,

例1.5 我们已经知道剩余类加法群Z_n的全部子群为{〈s$\overline{1}$〉=〈$\overline{s}$〉|s是n的正因数}

而对于每个子群〈$\overline{s}$〉={r$\overline{s}$|r ∈ Z} , 根据定理1.1可知 , 〈$\overline{s}$〉是剩余类环Z_n的子环

因此 , Z_n的所有子环为{〈s$\overline{1}$〉|s是n的正因数} ,

例1.6设R是环 , 试证明C(R)={a∈R|ab=ba , ∀b ∈ R}是R的子环 ,

称其为环R的中心 ,

证: 显然0属于C(R) , 即C(R)是R的非空子集 ,

又因对属于C(R)的任意a , b , 和属于R的任意c , 有

(a‒b)c=ac‒bc=ca‒cb=c(a‒b) ,

(ab)c=a(bc)=a(cb)=(ac)b=(ca)b=c(ab) ,

即a‒b属于C(R) , ab属于C(R) ,

所以 , 根据定理1.1可知 , C(R)是环R的子环 ,

习题