在群论中 , 我们比较两个群 , 所用的工具是群的同态与同构 ,

同样地 , 在环论中 , 我们也将使用同态与同构去比较两个环 ,

环是具有两个运算的代数系统 ,

因此在第一章所介绍的有关代数系统的同态、同构的概念可以如下移植到环中

设R和R'是环 , 若存在映射φ: R→R' , 使得映射φ保持环的运算 ,

即对属于R的任意a , b有下列等式

φ(a+b)=φ(a)+φ(b) ,

φ(ab)=φ(a)φ(b) ,

则称φ是R到R'的环同态 , 记为R~R' ,

设φ是R到R'的环同态 ,

若φ是单射(或满射) , 则称φ是R到R'的单同态(或满同态) ,

特别地 , 若φ是双射 , 则称φ是R到R'的环同构 , 记为R≅R' ,

若φ是R到自身的环同构 , 则称φ是R的环自同构 ,

设φ是F到F'的环同构 , 若F和F'都是域 , 则称φ是F到F'的域同构 ,

特别地 , 若φ是F到自身的域同构 , 称φ为F的域自同构 ,

注意 , 同构的代数对象具有“一样”的代数结构和运算性质 ,

令φ是环R到R'的同态映射 ,

则称Ker φ={a∈R|φ(a)=0}=φ^‒1(0)为映射φ的同态核 , 其中0是R'的零元 ,

而称Im φ={φ(a)|a∈R}=φ(R)为映射φ的同态像 ,

命题4.1设φ是环R到R'的环同态 , 则如下结论成立:

(1)φ(0)=0 , φ(‒a)=‒φ(a) ,

其中第一个0是R的零元 , 第二个0是R'的零元 , a属于R;

(2)Ker φ是R的理想;

(3)Im φ是R'的子环;

(4)φ是单同态⟺Ker φ={0} ,

证: 若φ是环R到环R'的环同态 , 则φ是加法群R到加法群R'的群同态 ,

因此 , 根据群同态的性质可知 , (1)和(4)成立 ,

下面我们仅需证明(2)和(3) ,

证明(2): 显然0属于Ker φ , 即Ker φ是R的非空子集 ,

另外 , 对属于R的a , 和属于Ker φ的x , y , 我们有

φ(x‒y)=φ(x)‒φ(y)=0‒0=0 ,

φ(ax)=φ(a)φ(x)=φ(a)0=0 ,

φ(xa)=φ(x)φ(a)=0φ(a)=0 ,

即x‒y , ax , xa属于Ker φ , 所以 , 根据本章定理3.1可知 , Ker φ是R的理想

证明(3): 显然Im φ是非空集合 ,

对属于Im φ的φ(a) , φ(b) ,

有φ(a)‒φ(b)=φ(a‒b)属于Im φ和φ(a)φ(b)=φ(ab)属于Im φ ,

所以 , 根据本章定理1.1可知 , Im φ是R’的子环 ,

例4.1设I是环R的理想 , 则映射π: R→R/I , a→a+I=$\overline{a}$是满射 ,

并且π(a+b)=$\overline{a + b}$=$\overline{a}$+$\overline{b}$=π(a)+π(b) , π(ab)=$\overline{ab}$=$\overline{a}\ \overline{b}$=π(a)π(b) ,

因此 , π是R到R/I的满同态 ,

一般地 , 称π为自然同态 , 容易验证 , π的核为Ker π=1 ,

例4.1说明了一个环与其商环之间的关系 ,

下面的环同态基本定理将告诉我们这种环与环之间的关系具有一般性 ,

定理4.1(环同态基本定理) , 若φ是环R到环R’的环同态 , 则R/Ker φ≅Im φ

证: 只需证明映射$\overline{\varphi}$: R/Ker φ→Im φ , a+Ker φ→φ(a)是环同构即可 , 如图3.1

首先 , 证明$\overline{\varphi}$是映射 ,

若a+Ker φ=b+Ker φ , 则a‒b属于Ker φ , 即φ(a‒b)=0 , 因此 , φ(a)=φ(b) ,

其次 , 证明$\overline{\varphi}$是同态 ,

对属于R的a , b , 有

$\overline{\varphi}$((a+Ker φ)+(b+Ker φ))

=$\overline{\varphi}$((a+b)+Ker φ)

=φ(a+b)

=φ(a)+φ(b)

=$\overline{\varphi}$(a+Ker φ)+$\overline{\varphi}$(b+Ker φ) ,

$\overline{\varphi}$((a+Ker φ)(b+Ker φ))

=$\overline{\varphi}$(ab+Ker φ)

=φ(ab)

=φ(a)φ(b)

=$\overline{\varphi}$(a+Ker φ)$\overline{\varphi}$(b+Ker φ) ,

最后 , 证明$\overline{\varphi}$是双射 , 显然 , $\overline{\varphi}$是满射 ,

另外 , 若$\overline{\varphi}$(a+Ker φ)=φ(a)=0 ,

则a属于Ker φ , a+Ker φ=Ker φ , 即Ker $\overline{\varphi}$={Ker φ} , $\overline{\varphi}$是单射 ,

综上 , 商环R/Ker φ与环Im φ同构

在群论中 , 我们有群的第一、第二同构定理 ,

在环论中 , 同样有环的第一、第二同构定理 ,

定理4.2设I是环R的理想 , S是环R的子环 , 则如下结论成立:

(1)I+S是环R的子环 , I是I+S的理想;

(2)(环的第一同构定理)S/(S⋂I)≅(I+S)/I;

(3)(环的第二同构定理) , 若J也是环R的理想且I包含于J , 则(R/I)/(J/I)≅R/J

证: (1)首先证明I+S是子环 , 显然 , I+S是R的非空子集 ,

另外 , 对属于I的a₁ , a₂ , 和属于S的s₁ , s₂ ,

有(a₁+s₁)‒(a₂+s₂)=(a₁‒a₂)+(s₁‒s₂)属于I+S ,

(a₁+s₁)(a₂+s₂)=(a₁a₂+a₁s₂+s₁a₂)+s₁s₂属于I+S ,

所以 , I+S是R的子环 ,

因为I是环R的理想 , 且I包含于I+S , 所以 , I是I+S的理想 ,

(2)显然φ: S→(I+S)/I , s→s+I=$\overline{s}$是满射 ,

又因对属于S的s₁ , s₂ , 有

φ(s₁+s₂)=$\overline{s_{1} + s_{2}}$=$\overline{s_{1}}$+$\overline{s_{2}}$=φ(s₁)+φ(s₂) ,

φ(s₁s₂)=$\overline{s_{1}s_{2}}$=$\overline{s_{1}}\ \overline{s_{2}}$=φ(s₁)φ(s₂) ,

因此 , φ是S到(I+S)/I的满同态 , 而Ker φ={s∈ S|$\overline{s}$=I}={s∈ S|s∈ I}=S⋂I ,

所以 , 由环同态基本定理有S/(S⋂I)≅(I+S)/I ,

(3)要证明(R/I)/(J/I)≅R/J , 根据环同态基本定理 ,

只需证明φ: R/I→R/J , a+I→a+J是满同态 , 且Ker φ=J/I ,

首先 , 若a₁+I=a₂+I , 则a₁‒a₂属于I包含于J , 从而a₁+J=a₂+J , 即φ是映射 ,

φ的满射性是显然的 ,

φ((a₁+I)(a₂+I))

=φ(a₁a₂+I)

=a₁a₂+J

=(a₁+J)(a₂+J)

=φ(a₁+I)φ(a₂+I);

φ((a₁+I)+(a₂+I))

=φ((a₁+a₂)+I)

=(a₁+a₂)+J

=(a₁+J)+(a₂+J)

=φ(a₁+I)+φ(a₂+I) ,

所以φ保持运算 , 从而φ是R/I到R/J的满同态 ,

另外 , Ker φ={a+I | a+J=J}={a+I|a∈ J}=J/I ,

所以由环同态基本定理有(R/I)/(J/I)≅R/J ,

例4.2设R是环 , 证明R/{0}≅R和R/R≅{0} ,

证: 显然 , R上的恒等映射id_R: R→R是R到R的满同态 , 且Ker id_R={0} ,

所以由环同态基本定理可知R/{0}≅R ,

若映射φ: R→{0} , 使等式φ(a)=0成立 , 则φ是R到{0}的满同态 , 且Ker φ=R ,

所以 , 由环同态基本定理可知R/R≅{0} ,

推论4.1设φ是环R到环R'的单同态 , 则环R与环Im φ同构 ,

例4.3设四元数体H=$\left\{ \left. \ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ - \overline{\beta} & \overline{\alpha} \end{pmatrix} \right|\alpha,\beta \in C \right\}$ , 证明存在实数域R到环H的单同态

证: 令E=$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , 定义映射φ: R→H , a→aE , 则对属于R的a , a' , 有φ(a+a')=(a+a')E=aE+a'E=φ(a)+φ(a') ,

φ(aa')=(aa')E=(aE)(a'E)=φ(a)φ(a') ,

且Ker φ={0} , 即φ是R到H的单同态 ,

所以 , 由推论4.1可知 , R与Im φ同构 ,

因此 , 在同构意义下 , 可以将R视为四元数体的子域 ,

例4.4设R是整环 , 试证明:

若Char R=p(p是素数) , 则R包含一个同构于Z_p的子域 ,

若Char R=0 , 则R包含一个同构于整数环Z的子环 ,

证: 我们先来构造一个环Z到环R的同态映射 ,

令φ: Z→R , n→ne , 其中e是环R中的单位元 ,

对属于Z的s , t , 有

φ(s+t)=(s+t)e=se+te=φ(s)+φ(t) ,

φ(st)=(st)e=(se)(te)=φ(s)φ(t) ,

所以 , 是环Z到环R的环同态 , 根据环同态基本定理可知Z/Ker φ≅Im φ⊆R ,

另外 , Ker φ={n∈Z|ne=0} , 即Ker φ的元素是e的阶的倍数 ,

而e的阶就是Char R , 所以 , Ker φ=⟨Char R⟩ ,

由推论4.1可知 , 当Char R=0时 , Z≅Im φ;当Char R=p时 , Z_p=Z/⟨p⟩≅Im φ ,

最后我们来讨论剩余类环之间的关系 ,

例4.5证明φ: $\overline{x}$→xφ($\overline{1}$)是Z_m到Z_n的环同态的充分必要条件是

mφ($\overline{1}$)=$\overline{0}$ , (φ($\overline{1}$))²=φ($\overline{1}$) ,

证: 必要性是显然的 , 下面证明充分性 ,

首先 , 证明φ是Z_m到Z_n的映射 ,

若$\overline{a}$ , $\overline{b}$属于Z_m , $\overline{a}$=$\overline{b}$ , 则存在属于Z的t , 使得a‒b=tm ,

从而 , aφ($\overline{1}$)‒bφ($\overline{1}$)=(a‒b)φ($\overline{1}$)=tmφ($\overline{1}$)=$\overline{0}$ ,

因此aφ($\overline{1}$)=bφ($\overline{1}$) , 即φ($\overline{a}$)=φ($\overline{b}$) ,

另外 , 对属于Z的$\overline{a}$ , $\overline{b}$ , 由

φ($\overline{a}$+$\overline{b}$)=φ($\overline{a + b}$)=(a+b)φ($\overline{1}$)=aφ($\overline{1}$)+bφ($\overline{1}$)=φ($\overline{a}$)+φ($\overline{b}$) ,

φ($\overline{a}\ \overline{b}$)=φ($\overline{ab}$)=(ab)φ($\overline{1}$)=(aφ($\overline{1}$))(bφ($\overline{1}$))=φ($\overline{a}$)φ($\overline{b}$) ,

可知φ: $\overline{x}$→xφ($\overline{1}$)是Z_m到Z_n的环同态 ,

例4.6求Z₅到Z₁₀的所有环同态 ,

解: 设φ是Z₅到Z₁₀的环同态 , 则对属于Z₅的任意$\overline{x}$ , 有φ($\overline{x}$)=φ(x$\overline{1}$)=xφ($\overline{1}$) ,

这说明φ是由φ($\overline{1}$)决定的 ,

设φ($\overline{1}$)=$\overline{a}$ , 则由例4.5可知 , $\overline{a}$应满足条件5⦁$\overline{a}$=$\overline{0}$和$\overline{a}$=$\overline{a}$² ,

但是在Z₁₀中 , 满足这两个条件的元素$\overline{a}$只有$\overline{0}$ , $\overline{6}$ ,

所以φ($\overline{1}$)=$\overline{0}$或φ($\overline{1}$)=$\overline{6}$ ,

那么Z₅到Z₁₀的环同态有两个: φ($\overline{x}$)=x$\overline{0}$=$\overline{0}$和φ($\overline{x}$)=x$\overline{6}$=$\overline{6x}$ ,

习题