1 , 证明⟨$\overline{2}$⟩是Z₁₈的极大理想

证明: Z₁₈的所有理想为

Z₁₈ ,

$\overline{2}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{2}$ , $\overline{4}$ , $\overline{6}$ , $\overline{8}$ , $\overline{10}$ , $\overline{12}$ , $\overline{14}$ , $\overline{16}$} ,

$\overline{3}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{3}$ , $\overline{6}$ , $\overline{9}$ , $\overline{12}$ , $\overline{15}$} ,

$\overline{6}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{6}$ , $\overline{12}$} ,

$\overline{9}$Z₁₈={$\overline{0}$ , $\overline{9}$} ,

$\overline{18}$Z₁₈={$\overline{0}$} ,

显然包含⟨$\overline{2}$⟩的理想只有⟨$\overline{2}$⟩和Z_{18 ,} 故⟨$\overline{2}$⟩为Z₁₈的极大理想 ,

2 , 证明⟨$\sqrt{2}$⟩是环Z[$\sqrt{2}$]={a+b|a , b∈ Z}的极大理想 ,

证明: 因为⟨$\sqrt{2}$⟩=Z[$\sqrt{2}$]$\sqrt{2}$={(a+b$\sqrt{2}$)$\sqrt{2}$|a , b∈ Z}={$\sqrt{2}$b+$\sqrt{2}$a|a , b∈Z}

所以对属于Z[$\sqrt{2}$]的任意a+b$\sqrt{2}$ ,

若a为偶数 , 则a+b$\sqrt{2}$属于⟨$\sqrt{2}$⟩ , 即$\overline{a + b\sqrt{2}}$=$\overline{0}$ ,

若a为奇数 , 则a+b$\sqrt{2}$=1+(a‒1+b$\sqrt{2}$) , 即a+b$\sqrt{2}$+⟨$\sqrt{2}$⟩=$\overline{1}$ ,

故Z[$\sqrt{2}$]/⟨$\sqrt{2}$⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$} , 即Z[$\sqrt{2}$]/⟨$\sqrt{2}$⟩是域 ,

所以⟨$\sqrt{2}$⟩是环Z[$\sqrt{2}$]的极大理想 ,

3 , 设R是有1的交换环 , I是R的真理想 ,

试证明若R的每个不在I中的元素都是可逆元 , 则I是R的唯一极大理想 ,

证明: 因为I是R的真理想 ,

所以1不属于I , R/I中有两个不同元素$\overline{0}$=0+I , $\overline{1}$=1+I ,

因为R‒I中任意元素均可逆 , 从而R/I是域 , 因此I是R的极大理想 ,

若J是R的另一个极大理想 , I≠J , 则存在a属于J‒I ,

又因a可逆 , 从而⟨a⟩=R , J=R , 与J是极大理想矛盾 ,

所以I是R的唯一极大理想

4 , 证明在一元多项式环Q[x]中 , 由x生成的理想是Q[x]的极大理想 ,

$$\mathbf{证明:}定义映射\varphi:Q\lbrack x\rbrack \rightarrow Q\ ,\ f(x) = \sum_{i = 0}^{n}{a_{i}x^{i}} \rightarrow f(0) = a_{0}\ ,\ 则\varphi 是满射\ \ \$$

且易知φ(f(x)+g(x))=φ(f(x))+φ(g(x)) ,

φ(f(x))φ(g(x))=φ(f(x)g(x)) ,

即φ是一个同态映射 ,

又因f(x)属于Ker φ⟺φ(f(x))=0⟺$a_{0}$=0⟺Ker φ=⟨x⟩ , 所以Ker φ=⟨x⟩ ,

由环同态基本定理知Q[x]/Kerφ≅Q , 即Q[x]/Ker φ是域 ,

故⟨x⟩=Ker φ是Q[x]的极大理想 ,

5 , 设p是素数 , 问在偶数环2Z中 , ⟨2p⟩是否是极大理想?

解: 设I是真包含⟨2p⟩的2Z的理想 , 则存在属于Z的m , 使2m属于I‒⟨2p⟩ ,

从而(p , m)=1 ,

因此存在整数s , i使得sp+im=1 , 从而2sp+2tm=2属于I ,

因此I=2Z , 故⟨2p⟩是极大理想 ,

6 , 试证明S={ab^‒1|b=2n+1 , a , n∈Z}有唯一极大理想 ,

证明: S的单位群U(S)={ab^‒1|a=2m+1 , b=2n+1 , m , n∈ Z} ,

易知 , I=S‒U(S)是S的真理想 ,

由题3可知I是S的唯一极大理想

7 , 问在整数环Z中 , ⟨71⟩是否是Z的素理想? ⟨9⟩是否是Z的素理想?

解: Z/⟨71⟩=Z₇₁是整环 , 所以⟨71⟩是Z的素理想

Z/⟨9⟩=Z₉不是整环 , 所以⟨9⟩不是Z的素理想

8 , 试证明当m是合数时 , Z_m的所有素理想形式为$\overline{s}$Z_m , 其中s是m的素因子;

当m是素数时 , Z_m的素理想只有{$\overline{0}$} ,

证明: 对于Z_m , 当m为素数时 , 理想只有{$\overline{0}$}和Z_m ,

所以{$\overline{0}$}既是素理想又是极大理想;

当m为合数时 , 其所有理想为⟨$\overline{s}$⟩ , s是m的正因子 ,

若⟨$\overline{s}$⟩包含于⟨$\overline{t}$⟩ , 则t|s , 因此⟨$\overline{s}$⟩是极大理想⟺s素是因子 ,

而主理想整环中极大理想与素理想等价 ,

因此 , 当m是合数时 , Z_m的所有素理想形式为$\overline{s}$Z_m , 其中s是m的素因子 ,

9 , 分别求Z₆和Z₁₃的所有极大理想和素理想 ,

解: Z₆的极大理想和素理想都为⟨$\overline{2}$⟩和⟨$\overline{3}$⟩ , Z₁₃的极大理想和素理想都是{$\overline{0}$} ,

10 , 在Z[i]中 , 判断下列哪些理想是素理想 , 哪些理想是极大理想 ,

并说明理由

(1)⟨3⟩; (2)⟨2+3i⟩; (3){0} ,

解: (1)因为⟨3⟩=3Z[i] ,

所以Z[i]/⟨3⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{i}$ , $\overline{1 + i}$ , $\overline{2 + i}$ , $\overline{2i}$ , $\overline{1 + 2i}$ , $\overline{2 + 2i}$} ,

又因非零元可逆: ($\overline{2}$)^‒1=$\overline{2}$ , ($\overline{i}$)^‒1=$\overline{2i}$ , ($\overline{1 + i}$)^‒1=$\overline{2 + i}$ , ($\overline{1 + 2i}$)^‒1=$\overline{2 + 2i}$ ,

所以Z[i]/⟨3⟩是域 , 因此⟨3⟩是极大理想 , 也是素理想

(2)⟨2+3i⟩是极大理想和素理想 ,

(3)⟨3⟩是素理想但不是极大理想 ,

11 , 设R与R'是交换环 , φ是R到R'的环同态 , 试证明

(1)若I'是R'的素理想 , 则φ^‒1(I')是R的素理想;

(2)若I是R的素理想 , φ是满同态且Ker φ包含于I , 则φ(I)是R'的素理想 ,

证明: (1)若ab属于φ^‒1(I') , 则φ(ab)属于I' , φ(a)φ(b)属于I' ,

由于I'为素理想 , 从而φ(a)属于I'或φ(b)属于I' ,

因此a属于φ^‒1(I') , 或b属于φ^‒1(I') ,

(2)若φ(a)φ(b)属于φ(I) , 则φ(ab)属于φ(I) ,

从而存在属于I的i , 使得ab‒i属于Ker φ , ab属于I , 因此a属于I或b属于I

于是φ(a)属于φ(I)或φ(b)属于φ(I) , 故φ(I)是R'的素理想 ,

12 , 设R是一个交换环 , I , J是R的两个理想 , 且I包含于J ,

试证明若J/I是R/I的素理想 , 则J是R的素理想

证明: 若ab属于J , 则(a+I)(b+I)属于J/I ,

因为J/I是R/I的素理想 , 所以a+I属于J/I或者b+I属于J/I ,

即a属于J或b属于J , 故J为R的素理想 ,

13 , 设R是一个交换环 , P是R的真理想 ,

试证明当且仅当对R的任意两个理想I , J ,

若IJ包含于P , 则有I包含于P或J包含于P时 , P是R的素理想

证明: 必要性 , 反证 , 假设存在属于I的i , 和属于J的j , 使得i , j不属于P ,

则ij属于IJ包含于P , 这与P是R的素理想矛盾 ,

充分性 , 若ab属于P , 则令I=⟨a⟩ , J=⟨b⟩ , 从而IJ=⟨ab⟩ , 那么IJ包含于P ,

于是有I包含于P或J包含于P ,

因此有a属于P , b属于P , 所以P是R的素理想 ,

14 , 设I是交换环R的理想 , S是R中一切不属于I的元素的集合 ,

试证明当且仅当S关于R的乘法运算是半群(即S的乘法运算满足结合律)时 ,

I是环R的素理想

证明: 必要性 ,

I是R的素理想 , S=R‒I , 因为I是环R的真理想 , 所以S是非空集合 ,

对属于S的s₁ , s₂ , 若s₁s₂属于I , 则s₁属于I或s₂属于I , 矛盾 ,

所以s₁s₂属于S ,

因为环R的乘法满足结合律 , 所以子集S的乘法也满足结合律 ,

故s关于R的乘法运算是半群 ,

充分性 ,

反证 , 存在属于R的x , y , 使得xy属于I , 但是x不属于I , y不属于I ,

即x属于S , y属于S , 但是xy不属于S ,

这与S关于R的乘法运算是半群矛盾 , 故I为素理想 ,

习题1举例说明:

在主理想整环中 , 零理想一定是素理想 , 但不一定是极大理想

解: 因为整环是无零因子环 , 因此零理想一定是素理想 ,

在整数环中 , 零理想是素理想 , 但不是极大理想 ,

习题2设p是一个素数 , n是大于1的整数 , R=Z/⟨pⁿ⟩ , 试证明

(1)R的元素不是可逆元就是幂零元;

(2)⟨$\overline{p}$⟩是R的极大理想;

(3)R只有一个素理想;

(4)若I是R的素理想 , 则商环R/I是域 ,

证明: (1)令a属于Z , 若p∤a , 则(a , pⁿ)=1 ,

于是存在属于Z的u , v , 使得ua+vpⁿ=1 , 从而$\overline{ua}$=$\overline{1}$ , 即$\overline{a}$是可逆元 ,

否则 , 可设a=pt(t属于Z) , 则$\overline{a}$ⁿ=$\overline{0}$ , 即$\overline{a}$是幂零元 ,

(2)设J是R的理想 , 且⟨$\overline{p}$⟩⊆J⊆R , 若存在属于J的可逆元$\overline{a}$ , 则⟨$\overline{a}$⟩=J=R ,

否则 , 属于J的任意$\overline{a}$不是可逆元 ,

则由(1)可设a=pt(t属于Z) , 故a=$\overline{pt}$属于⟨$\overline{p}$⟩ , 从而⟨$\overline{p}$⟩=J ,

(3)设I是R的素理想 , 由于$\overline{p}$ⁿ=$\overline{0}$属于I , 故$\overline{p}$属于I , 所以⟨$\overline{p}$⟩包含于I ,

又由(2)知⟨$\overline{p}$⟩是极大理想 , 故⟨$\overline{p}$⟩=I ,

(4)由于I是极大理想 , 故R/I是域 ,

习题3设R和R₁都是交换环 , φ: R→R₁是环同态映射 ,

J是R₁的极大理想 , 问I=φ^‒1(J)一定是R的极大理想吗?

解: 不一定 ,

例如在嵌入映射Z→Q下 , 因为域是单纯环 , 因此Q的极大理想为J={0} ,

而其完全原像为I={0} , 不是Z的极大理想 ,

习题4设R是交换环 , I_j(1⩽j⩽n)是R的理想 , I是R的素理想 , 试证明

$$(1)若\bigcap_{j = 1}^{n}I_{j} = I,\ 则I必等于某个I_{j}\ \ \ \ \$$

$$(2)若\bigcap_{j = 1}^{n}I_{j} \subseteq I且I_{j}(1 \leqslant j \leqslant n)是素理想,则I包含某个I_{j}\ \ \ \ \$$

证明: (1)反证 , 假设I_j不包含于I(1⩽j⩽n) , 取a_j属于I_j‒I ,

$$则a_{1}a_{2}\cdots a_{n}属于\bigcap_{j = 1}^{n}I_{j} = I,\ \$$

因为I是R的素理想 , 所以存在某个a_j属于I , 矛盾 ,

$$(2)反证.取属于I_{j} - I的a_{j}\ ,\ j = 1,2,\cdots,n,则a_{1}a_{2}\cdots a_{n}属于\bigcap_{j = 1}^{n}I_{j} - I\ ,\ \ 矛盾$$

$$\mathbf{习题5}设R是交换环,I是R的理想,I_{i}(1 \leqslant j \leqslant n)是R的素理想,且I \subseteq \bigcup_{j = 1}^{n}I_{j}$$

试证明I包含在某个I_j中 ,

证明: 对n用数学归纳法 , n=1时结论显然成立 ,

假设结论对n‒1成立 ,

$$设I \subseteq \bigcup_{j = 1}^{n}I_{j},若存在i使得I_{i} \subseteq \bigcup_{j \neq i}^{n}I_{j},则I \subseteq \bigcup_{j = 1}^{n}I_{j} = \bigcup_{j \neq i}^{n}I_{j}\ \$$

由归纳假设知 , I含在某个I_i中 ,

$$否则,取x_{k} \in I_{k} - \bigcup_{j \neq i}^{n}I_{j},k = 1,2,\cdots,n,\ \ \ \$$

$$假若I不包含于I_{j},取a_{j} \in I - I_{j}\ ,\ j = 1,2,\cdots,n,则a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} \notin \bigcup_{j \neq i}^{n}I_{j}\$$

矛盾

习题6证明有1的有限交换环的素理想都是极大理想 ,

证明: 设R是有1的有限交换环 , I是R的素理想 , 则R/I是有限整环 ,

从而是域 , 故I是R的极大理想 ,

习题7求Z₁₈的素理想 ,

解: Z₁₈的素理想为⟨$\overline{s}$⟩ , 其中s是18的素因子 , 所以Z₁₈的素理想只有⟨$\overline{3}$⟩和⟨$\overline{2}$⟩ ,

习题8证明⟨2+i⟩是Z[i]的素理想 ,

证明: 因为Z[i]是有1的交换环 , 且Z[i]/⟨2+i⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{3}$, $\overline{4}$} , 易知其是域

所以⟨2+i⟩是Z[i]的极大理想 , 也是素理想 ,

习题9证明1‒i生成的理想是Z[i]的极大理想 ,

证明: 因为Z[i]是有1的交换环 , 所以仅需要证明Z[i]/⟨1‒i⟩是域 ,

因为(a+bi)(1‒i)=a+b+(b‒a)i , 令b‒a=x , 则⟨1‒i⟩={2a+x+xi|a , x ∈ Z} ,

若a‒b是偶数 , 则$\overline{a + bi}$=$\overline{0}$;

若a‒b是奇数 , 则a‒1‒b是偶数 , $\overline{a - 1 + bi}$=$\overline{0}$ , $\overline{a + bi}$=$\overline{1}$ ,

从而Z[i]/⟨1‒i⟩={$\overline{0}$ , $\overline{1}$}是域 , ⟨1‒i⟩是Z[i]的极大理想

习题10设p是素数 , 在整数环Z中 , ⟨p²⟩是否是Z的素理想?

解: 当且仅当a是素数或零时 , ⟨a⟩是Z的素理想 , 所以⟨p²⟩不是Z的素理想 ,