1 , 设p是素数 , 求环S=$\left\{ \left. \ \frac{a}{b} \right|a\ ,\ b \in Z\ ,\ p \nmid b \right\}$的分式域

解: 因为S包含于Q , Q是最小域 , 故S的分式域为Q ,

2 , 求整环Z[$\sqrt{2}$]={a+b$\sqrt{2}$|a , b ∈ Z}的分式域

解: (c+d$\sqrt{2}$)(a+b$\sqrt{2}$)^‒1=$\frac{\left( c + d\sqrt{2} \right)\left( a - b\sqrt{2} \right)}{a^{2} - 2b^{2}}$

因此Z[$\sqrt{2}$]的分式域为Q[$\sqrt{2}$]={a+b$\sqrt{2}$|a , b∈Q} ,

3 , 求整环Z[$\sqrt{- 3}$]={a+b$\sqrt{- 3}$|a , b ∈ Z}的分式域 ,

解: Z[$\sqrt{- 3}$]的分式域为Q[$\sqrt{- 3}$]={a+b$\sqrt{- 3}$|a , b ∈ Q} ,

4 , 设域F的特征为0 , 证明F包含一个同构于有理数域Q的子域

解: 因为F的一个子环与整数环同构 ,

因此 , 它们的分式域同构 , Z的分式域为Q

所以Q与F的一个子域同构