1 , 设R是有1的交换环 , 证明若x是R的未定元 , 则x^k(k⩾1)也是R的未定元

证明: 对于属于N的n , 和属于R的a₀ , a₁ , ⋯ , a_n ,

若a_n(x^k)ⁿ+a_n‒1(x^k)^n‒1+⋯+a₁x^k+a₀=0 , 则a_nx^kn+a_n‒1x^kn‒k+⋯+a₁x^k+a₀=0 ,

因为x是R的未定元 , 故a₀=a₁=⋯=a_n=0 , 故x^k(k⩾1)是R的未定元 ,

2 , 在Z₃[x]中 , 判断x³+$\overline{1}$能否被x²+x+$\overline{1}$整除 ,

解: 若x³+1能被x²+x+1整除 ,

则存在属于Z₃[x]的g(x) , 使得x³+1=(x²+x+1)g(x) ,

从而g(x)=x+$\overline{b}$ , 于是有(x²+x+1)(x+$\overline{b}$)=x³+($\overline{b}$+1)x²+($\overline{b}$+1)x+$\overline{b}$=x³+1 ,

因此$\overline{b}$+1=$\overline{0}$ , $\overline{b}$=$\overline{1}$ ,

但是这样的$\overline{b}$不存在 , 故x³+1不能被x²+x+1整除 ,

(说明: $\overline{1}$是单位元 , 我们常用1表示单位元 , 因此二者可以互用 , 后文同)

3 , 证明环Z[x]的理想⟨x⟩是素理想 ,

证明1: 因为Z[x]/⟨x⟩≅Z , 所以Z[x]/⟨x⟩是整环 , 从而⟨x⟩是素理想 ,

证明2: 若x|f(x)g(x) , 则x|f(x)或x|g(x) , 即x是素元 , 从而⟨x⟩是素理想

4 , 证明⟨x²+1⟩不是Z₂[x]的素理想 ,

证明1: Z₂[x]是域上的多项式环 , 所以是主理想整环 , x²+1=(x+1)(x+1) ,

即x²+1是可约元 , 从而不是素理想 ,

证明2: Z₂[x]是整环 , x²+1|(x+1)(x+1) , 但是x²+1∤(x+1) , 所以x²+1不是素元

从而 , ⟨x²+1⟩不是素理想 ,

证明3: 设f(x)=x²+1 , 则f(1)=0 , 所以f(x)是可约元 ,

从而⟨x²+1⟩不是Z₂[x]的素理想 ,

5 , 证明⟨x²+$\overline{1}$⟩是Z₃[x]的极大理想 ,

证明: 因为Z₃[x]是主理想整环 , 只需说明f(x)=x²+1是不可约多项式 ,

因为f($\overline{0}$)≠0 , f($\overline{1}$)≠0 , f($\overline{2}$)≠0 , 故f(x)=x²+1不可约 ,

因此⟨x²+1⟩是Z₃[x]的极大理想 ,

6 , 证明Z₂[x]/⟨x²+x+$\overline{1}$⟩是域 ,

证明: 因为Z₂是域 , 所以Z₂[x]是主理想整环 ,

下面证明x²+x+1为Z₂[x]上的不可约多项式 ,

令f(x)=x²+x+1 , 因为f($\overline{0}$)≠0 , f($\overline{1}$)≠0 , 所以f(x)不可约 ,

因此⟨x²+x+1⟩是Z₂[x]的极大理想 , 故Z₂[x]/⟨x²+x+1⟩是域

7 , 证明环Z[x]的任一个主理想都不是极大理想 ,

证明: 设f(x)=a_nxⁿ+a_n‒1x^n‒1+⋯+a₀属于Z[x] ,

若f(x)=0 , 则⟨f(x)⟩⊂⟨x⟩⊂Z[x] , 则⟨f(x)⟩不是极大理想 ,

若f(x)=1 , 则⟨f(x)⟩=Z[x] ,

若deg f(x)=0 , 设f(x)=a≠1 , 则$\overline{x}$是Z[x]/⟨a⟩的非零不可逆元

(否则xg(x)‒1=ah(x) , 比较常数项 , 可知矛盾) ,

故Z[x]/⟨f(x)⟩不是域 , 从而⟨f(x)⟩不是极大理想 ,

若deg f(x)＞0 , 则取素数p满足p∤a_{i ,} i=0 , 1 , ⋯ , n ,

则$\overline{p}$是Z[x]/⟨f(x)⟩的非零不可逆元

(否则pg(x)=f(x)h(x)+1 , 比较常数项 , 可知矛盾) ,

故Z[x]/⟨f(x)⟩不是域 , 所以⟨f(x)⟩不是极大理想 ,

8 , 设p是素数 , 试证明对属于Z_p[x]的任意多项式f(x) , g(x) , 有

(1)[f(x)+g(x)]^p=[f(x)]^p+[g(x)]^p;

(2)[f(x)]^p=f(x^p) ,

证明(1)因为Z_p的特征为p , 所以得证 ,

(2)因为Z_p的特征为p , 所以得证 ,

9 , 求属于Q[x]的x⁵+2x⁴‒10x³‒19x²+x+1

除以属于Q[x]的x⁴‒10x²+1的商式和余式 ,

解: f(x)=x⁵+2x⁴‒10x³‒19x²+x+1 , g(x)=x⁴‒10x²+1 ,

f(x)=g(x)(x+2)+x²‒1 ,

10 , 令f(x)=x²‒1属于Q[x] , g(x)=x⁴‒10x²+1属于Q[x] ,

求Q[x]中多项式u(x) , u(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=(f(x) , g(x)) ,

解: g(x)=f(x)(x²‒9)‒8 , 1=$\ \frac{1}{8}\$f(x)(x²‒9)‒$\ \frac{1}{8}\$g(x)

11 , 试求属于Z₈[x]的多项式f(x)=x³+x²‒$\overline{2}$x在Z₈上的所有异根 ,

解: f($\overline{0}$)=$\overline{0}$ , f($\overline{1}$)=$\overline{0}$ , f($\overline{2}$)=$\overline{0}$ , f($\overline{3}$)=$\overline{6}$ , f($\overline{4}$)=$\overline{0}$ , f($\overline{5}$)=$\overline{4}$ , f($\overline{6}$)=$\overline{0}$ , f($7$)=$\overline{2}$ ,

所有异根为$\overline{0}$ , $\overline{1}$ , $\overline{2}$ , $\overline{4}$ , $\overline{6}$

习题1设F[x]是数域F上的多项式环 ,

试证明⟨x⟩是F[x]的极大理想 , 且F[x]/⟨x⟩是域

$$\mathbf{证明:}因为映射\varphi:F\lbrack x\rbrack \rightarrow F,使得\sum_{i = 0}^{n}{a_{i}x^{i}} \rightarrow a_{0}是满同态映射,同态核为\langle x\rangle$$

所以F[x]/⟨x⟩与F同构 ,

这说明F[x]/⟨x⟩是域 , 从而⟨x⟩是F[x]的极大理想 ,

习题2求Z[x]/⟨x²+1⟩ ,

解: 对属于Z[x]的任意f(x) , 由带余除法知

f(x)=(x²+1)q(x)+r(x) , r(x)=0或deg r(x)＜2 ,

则$\overline{f(x)}$=$\overline{r(x)}$ , 从而Z[x]/⟨x²+1⟩={$\overline{ax + b}$ | a , b ∈ Z} ,

习题3在Z₇[x]中 , 计算乘积($\overline{5}$x+$\overline{2}$)($\overline{3}$x³+$\overline{5}$x+$\overline{1}$) ,

解: ($\overline{5}$x+$\overline{2}$)($\overline{3}$x³+$\overline{5}$x+$\overline{1}$)=$\overline{15}$x⁴+$\overline{6}$x³+$\overline{25}$x²+$\overline{15}$x+$\overline{2}$=x⁴+$\overline{6}$x³+$\overline{4}$x²+$\overline{1}$x+$\overline{2}$ ,

习题4证明⟨x²+1⟩是Z₃[x]的极大理想 ,

证明1: 定义映射φ: Z₃[x]→Z[i] , f(x)→f(i) , 易知 , φ是环的满同态映射 ,

根据环同态基本定理知 , Z₃[x]/Kerφ≅Z₃[i] ,

根据带余除法可知 , 对属于Z₃[x]的任意f(x) , 有f(x)=(x²+1)q(x)+ax+b

若f(x)属于Ker φ , 则ai+b=0 , a=b=0 , 即Ker φ=⟨x²+1⟩ ,

因为Z₃[i]是有限整环 , 从而是域故⟨x²+1⟩是Z₃[x]的极大理想 ,

证明2: 若I是真包含⟨x²+1⟩的理想 , 则存在f(x)属于I‒⟨x²+1⟩ ,

根据带余除法可知f(x)=(x²+1)q(x)+ax+b , 从而ax+b属于I‒⟨x²+1⟩ ,

若a=0 , 则b≠0 , b属于I , 从而1属于I , I=Z₃[x] ,

若a≠0 , 则0≠a²+b²=a²(x²+1)‒(ax+b)(ax‒b)属于I , 从而1属于I , I=Z₃[x]

所以⟨x²+1⟩是Z₃[x]的极大理想 ,

证明3: Z₃[x]是域上的多项式环 , 所以是主理想整环 , x²+1在Z₃中无根 ,

因此是Z₃[x]中的不可约元 , 从而⟨x²+1⟩是极大理想

习题5: 证明对属于Z_p的任意a , (p为素数) , x^p+a在Z_p[x]中是可约元 ,

证明: 因为域Z_p的阶为p , 所以对属于Z_p的任意a , 有a^p=a ,

因此x^p+a=x^p+a^p=(x+a)^p为Z_p[x]中可约元 ,

习题6将Z₅[x]中多项式x⁶+$\overline{4}$x⁵+$\overline{3}$x+$\overline{2}$表示为不可约元的乘积 ,

解: 由x⁵+a=(x+a)⁵得

x⁶+$\overline{4}$x⁵+$\overline{3}$x+$\overline{2}$=x⁶‒x⁵+$\overline{3}$x‒$\overline{3}$=x⁵(x‒$\overline{1}$)+$\overline{3}$(x‒$\overline{1}$)=(x‒$\overline{1}$)(x⁵+$\overline{3}$)=(x‒$\overline{1}$)(x+$\overline{3}$)⁵

习题7验证x³‒$\overline{2}$x²+x在Z₅中有两个不同的根 , 在Z₆中有4个互不相同的根 ,

证明: 设f(x)=x³‒$\overline{2}$x²+x , 在Z₅中f($\overline{0}$)=f($\overline{1}$)=$\overline{0}$ , 即在Z₅中有两个不同的根;

在Z₆中f($\overline{0}$)=f($\overline{1}$)=f($\overline{3}$)=f($\overline{4}$)=$\overline{0}$ , 即在Z₆中有4个互不相同的根 ,

习题8设p是一个素数 , 在Z_p[x]中有x‒$\overline{2}$ | x⁴‒x³+x²‒x+1 , 求p的可能取值

解: 记f(x)=x⁴‒x³+x²‒x+1 , 于是f($\overline{2}$)=$\overline{11}$=$\overline{0}$ , 从而p|11 , p=11 ,

习题9写出Z₃[x]中全部次数⩽3的首项系数为1的不可约元 ,

解: 一次不可约多项式有x , x±1 , 由不可约多项式在Z₃[x]中无根可知

x²+1 , x²±x‒1 , x³+x²‒1 , x³‒x+1 , x³‒x‒1 , x³+x²+x‒1 ,

x³+x²‒x+1 , x³‒x²+x+1 , x³‒x²+1 , x³‒x²‒x‒1

是二次和三次不可约多项式 ,

习题10设f(x) , g(x)属于F[x] , F是域 , 且f(x) , g(x)不全为零 ,

令J={f(x)u(x)+g(x)v(x) | u(x) , v(x) ∈ F[x]} ,

试证明(1)J是F[x]的理想;

(2)若d(x)是f(x) , g(x)的最大公因式 , 则J=⟨d(x)⟩ ,

证明(1)因为F[x]是有1的交换环 , 因此J=⟨f(x) , g(x)⟩是F[x]的理想 ,

(2)因为d(x)|f(x) , g(x) , 所以f(x) , g(x)属于⟨d(x)⟩ , 从而J包含于⟨d(x)⟩;

反之 , 因为F[x]是主理想整环 , 所以d(x)属于J ,

从而⟨d(x)⟩包含于J , 所以J=⟨d(x)⟩ ,

习题11求整环Z[x]的分式域

解: Z[x]的分式域为Q(x)=$\left\{ \left. \ \frac{f(x)}{g(x)} \right|f(x),g(x) \in Q\lbrack x\rbrack,g(x) \neq 0 \right\}$