本节讨论有限域的结构和性质 , 主要结论有 :

有限域的阶是其特征的方幂 ,

有限域的乘法群是循环群 ,

有限域是其素子域的单代数扩张 ,

有限域的有限扩张是单代数扩张 ,

设F是域 , 若F是有限域 , 即|F|＜∞ , 则F的特征一定是素数 ,

设Char F=p＞0 , 则F包含Z_p , 进而 , F是Z_p上的有限维向量空间 ,

若设|F : Z_p|=n , 则域F所含的元素个数为pⁿ , 即有限域的阶是其特征的方幂

定理5.1对任意素数p和正整数n , 在同构意义下存在唯一的pⁿ阶有限域

证: 首先 , f(x)=$x^{p^{n}}$‒x在Z上的分裂域E就是一个pⁿ阶有限域 ,

设F是f(x)在E中所有根的集合 , 则对属于F的任意a , b ,

我们有(a‒b$)^{p^{n}}$=$a^{p^{n}}$‒$b^{p^{n}}$=a‒b , (ab^‒1$)^{p^{n}}$=$a^{p^{n}}$($b^{p^{n}}$)^‒1=ab^‒1

即a‒b , ab^‒1属于F , 因而F是E的子域 ,

又因为f(x)无重根(f'(x)=‒1) , 所以F的阶为pⁿ

若c属于Z_p则c=c^p , 从而c=$c^{p^{n}}$ , 即c属于F , 从而E=Z_p(F)⊆F⊆E , 即E=F

其次 , pⁿ阶域是唯一的 ,

设F是任意一个pⁿ阶域 , 则F‒{0}是pⁿ‒1阶乘法群 ,

所以对属于F‒{0}的任意a , 有$a^{p^{n} - 1}$=1 , 从而对属于F的任意a , 有$a^{p^{n}}$=a ,

即F中的元素都是属于Z[x]的f(x)=$x^{p^{n}}$‒x的根 ,

所以F恰是f(x)在Z_p上的分裂域 ,

由分裂域的唯一性可知 , pⁿ阶有限域是唯一的

因为对每个pⁿ , 在同构意义下仅存在一个pⁿ阶域 ,

所以我们将其记为GF(pⁿ) , 并称其为pⁿ阶伽罗瓦域

定理5.2 GF(pⁿ)的所有子域形式为GF(p^m) , 其中m|n ,

证: 设GF(p^m)是GF(pⁿ)的子域 , 若|GF(pⁿ) : GF(p^m)|=t , 则pⁿ=(p^m)^t , 即m|n

若m|n , 设n=mt , 则g(x)=$x^{p^{m}}$‒x的根都是f(x)=$x^{p^{n}}$‒x的根 ,

若令f(x)和g(x)的根的集合分别为E和F , 则E和F分别是pⁿ阶和p^m阶有限域

且F包含于E , 即pⁿ阶域有p^m阶子域

由上面的讨论可知 , 有限域的结构与多项式$x^{p^{n}}$‒x的根有着非常密切的关系 ,

而0是$x^{p^{n}}$‒x的根 , 所以 , 实际上有限域的结构与多项式$a^{p^{n} - 1}$‒1的根密切相关

为此 , 我们有必要对多项式xⁿ‒1的根组成的代数系统进行更详细的讨论 ,

定义5.1设F是素域 , n属于Z⁺ , 属于F[x]的多项式xⁿ‒1在F上的分裂域为E

称xⁿ‒1在E中的根为F上的n次单位根 , 并称E为F上的n次单位根域

当Char F=p , 且p|n时 , 若令n=p^sk , (p , k)=1 , 则xⁿ‒1=$x^{p^{s}k}$‒1=(x^k‒1$)^{p^{s}}$

这表明xⁿ‒1与x^k‒1在F上的分裂域相同 ,

因此 , 当Char F=p时 , 我们总假定对于多项式xⁿ‒1 , 有(p , n)=1 ,

命题5.1设F是素域 , 若Char F=p＞0且(n , p)=1 ,

则F上的n次单位根关于域的乘法运算构成n阶循环群 ,

证: 设f(x)=xⁿ‒1属于F[x]

因为f'(x)=nx^n‒1 , (f'(x) , f(x))=1 ,

所以f(x)无重根 , 即F上有n个不同的n次单位根 ,

设这n个根构成集合E , 知E是f(x)在F上的分裂域的乘法交换子群

下面再证明E是循环群即可 ,

不妨设n＞1且n=$p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}$⋯$p_{s}^{r_{s}}$

其中p_i是互不相同的素数 , r_i是正整数 , i=1 , 2 , ⋯ , s ,

因为多项式f_i(x)=$x^{\frac{n}{p_{i}}}$‒1在其分裂域中最多有$\frac{p\ }{p_{i}}$个根 ,

因为$\frac{n}{p_{i}}$＜n , 所以存在属于E的α_{i ,} 使$\alpha_{i}^{\frac{n}{p_{i}}}$≠1成立 ,

记$\alpha_{i}^{\frac{n\ \ \ }{p_{i}^{r_{i}}}}$=β_{i ,} 则$\beta_{i}^{p_{i}^{r_{i}\ }}$=1 , 从而β_i的阶为$p_{i}^{r_{i}\ }$ ,

否则若$\beta_{i}^{p_{i}^{t_{i}}}$=1 , t_i＜r_i , 则$\alpha_{i}^{\frac{n\ }{p_{i}}} = \left( \alpha_{i}^{\frac{n\ \ \ }{p_{i}^{r_{i}}}} \right)^{p_{i}^{r_{i} - 1}} = \beta_{i}^{p_{i}^{r_{i} - 1}} = \left( \beta_{i}^{p_{i}^{t_{i}}} \right)^{p_{i}^{r_{i} - 1 - t_{i}}} = 1$

这与$\alpha_{i}^{\frac{n\ }{p_{i}}}$≠1相矛盾 , 所以β_i的阶为$p_{i}^{r_{i}}$

$$若令u = \prod_{i = 1}^{s}\beta_{i},则根据第二章推论5.2(3)可知,u的阶为n,$$

所以E是n阶循环群 ,

既然域F上的n次单位根关于域的乘法运算构成n阶循环群 ,

则该群中必含有阶为n的元素 ,

定义5.2设F是素域 , 称F上阶为n的n次单位根为F上的本原n次单位根

推论5.1设F是素域 ,

若Char F=p＞0 , (n , p)=1 , 则存在F上的本原n次单位根

推论5.2有限域的乘法群是循环群 , 有限域是其素子域的单代数扩张 ,

证: 设F是pⁿ阶域 , 则F由属于Z_p[x]的$x^{p^{n}}$‒x的全部根组成 ,

进而属于Z_p[x]的$x^{p^{n} - 1}$‒1的所有根的集合是F的乘法群 ,

由命题5.1可知 , 该群为循环群 ,

若a是该群的生成元 ,

则F={0 , α , α² , ⋯ , $\alpha^{p^{n} - 1}$}=Z_p(α) , 即有限域是其素子域的单代数扩张 ,

推论5.3有限域的有限扩张是单代数扩张

证: 设F是有限域 , 包含F的E是有限扩张 ,

因为包含Z_p的F是有限扩张 , 所以包含Z_p的E是有限扩张 , 即E是有限域 ,

从而 , 包含Z_p的E是单代数扩张 ,

若设E=Z_p(α) , 其中α是Z_p上的代数元 , 则E=F(α) , α是F上的代数元

例5.1设F=GF(3⁶) , α是F的乘法群的一个生成元 ,

求F的所有子域及每个子域的乘法群的一个生成元 ,

解: 由定理5.2可知 , F的子域形式为GF(3^k) , k=1 , 2 , 3 , 6 ,

因为子域GF(3^k)的乘法群是F的乘法群的子群 , 而α是F的乘法群的生成元

所以可设αⁱ是GF(3^k)的乘法群的生成元 ,

根据第二章推论5.2(1)可取i=$\frac{3^{6} - 1}{3^{k} - 1}$

故子域GF(3) , GF(3²) , GF(3³) , GF(3⁶)的乘法群的生成元依次为α³⁶⁴ , α⁹¹ , α²⁸ , α

例5.2求属于Z₃[x]的多项式f(x)=x⁹‒x在Z₃上的分裂域E ,

解: 由定理5.1的证明可知 , E是f(x)所有根的集合 , 且|E|=9 ,

显然 , x²+1是Z₃[x]中的不可约元 ,

因为i是x²+1的根 , 所以|Z₃(i) : Z₃|=2 , |Z₃(i)|=3²=9 ,

因为f(i)=0 , 所以i属于E , 因此 , Z₃(i)包含于E ,

又由|Z₃(i)|=|E|可知Z₃(i)=E ,

注意 , 在上例中 , 尽管Z₃(i)=E , 但是i不是E的乘法群的生成元 ,

由定理5.1可知

pⁿ阶域可以通过求属于Z[x]的多项式f(x)=$x^{p^{n}}$‒x在Z_p上的分裂域得到 ,

例5.2启发我们可以用另外一种方式构造有限域

即在Z_p[x]中找出一个n次不可约元及其一个根 ,

将这个根添加到Z_p中即可得到pⁿ阶域 ,

例5.3构造一个8阶有限域 ,

解: 因为8=2³ , 所以需要找一个Z₂[x]中的3次不可约元 ,

易知 , g(x)=x³+x²+1是Z₂[x]中的一个不可约元 ,

令α是g(x)的一个根 , 则Z₂(α)为8阶有限域 ,

Z₂(α)={0 , 1 , α , α+1 , α² , α²+1 , α²+α , α²+α+1} ,

习题