所谓域的扩张是指 , 若域E是域F的扩域 , 则称E是F的扩张 , 记为E⊇F

本节我们将首先讨论如何通过添加元素的方式得到域的扩张;

其次将添加的元素分为代数元和超越元两类 , 并初步研究它们的一些性质;

最后从向量空间出发 , 讨论域的扩张次数 ,

一、域的扩张的构造

我们知道 , 域按照特征可以分为两类:

一类是特征为零的域 , 一类是特征为素数的域 ,

我们比较熟悉的有理数域Q是特征为零的域 ,

剩余类环Z_p(p为素数)是特征为素数p的域 ,

我们将指出 , 任意一个域都可以看做是Q或Z_p的扩域 ,

因此可以通过域的扩张来研究域 ,

我们采用的域的扩张的构造方式就是在已知的域上添加元素

定义1.1除自身外不再含有其他子域的域称为素域 ,

显然 , Q和Z_p都是素域 ,

定理1.1设F是域 , 若Char F=p(p是素数) , 则F包含一个同构于Z_p的子域

若Char F=0 , 则F包含一个同构于Q的子域 ,

证: 我们先来构造一个整数环Z到域F的环同态

φ: Z→F , n→n⦁1 , 其中1是F的单位元 ,

根据环同态基本定理可知Z/Ker φ=Im φ ,

另外 , Ker φ={n ∈ Z|n⦁1=0}=⟨char F⟩ ,

当Char F=p时 , 有Z_p=Z/⟨p⟩≅Im φ , 即F包含一个同构于Z_p的子域 ,

当Char F=0时 , 有Z≅Im φ , 即F包含一个同构于Z的子环 ,

再根据第三章定理6.2可知 , F包含一个同构于Q的子域 ,

推论1.1设F是素域 , 若Char F=p(素数) , 则F≅Z_p , 若Char F=0 , 则F≅Q ,

上面的论述说明 , 特征为零的域是Q的扩域 , 特征为素数p的域是Z_p的扩域

因此 , 任何一个域都可以看做是某个已知域的扩域 ,

下面我们来构造一个已知域的扩域 ,

设E是已知域F的扩域 , S是E的非空子集 ,

则E中总有包含F和S的子域 , 例如E本身 ,

包含F和S的E的所有子域的交 , 仍然是E的子域 ,

若用F(S)表示这个域 , 则F(S)是包含F和S的E的最小子域 ,

关于域F(S)的具体结构 , 我们有

F(S)={$\ \frac{f\left( s_{1},s_{2},\cdots s_{m} \right)}{g\left( s_{1},s_{2},\cdots s_{m} \right)}\$| g(x₁ , x₂ , ⋯ , x_m) , f(x₁ , x₂ , ⋯ , x_m) ∈ F[x₁ , x₂ , ⋯ , x_m] ,

g($s_{1},s_{2},\cdots s_{m}$)≠0 , $s_{1},s_{2},\cdots s_{m}$∈ S , m ∈ Z ^*} ,

事实上 , 若令上式的右端为$\overline{F}$ , 则显然有 , $\overline{F}$是F(S)的子集 , 即$\overline{F}$包含于F(S) ,

再由子域的判别定理可知 , $\overline{F}$是E的子域 , 且$\overline{F}$包含F和S ,

那么根据F(S)的定义有F(S)包含于$\overline{F}$ , 因此 , F(S)=$\overline{F}$ ,

若S={α₁ , α₂ , ⋯ , α_n} , 则记F(S)为F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

特别地 , 我们有F(α)={$\ \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\$| f(x) , g(x) ∈ F(x) , g(α)≠0} ,

定理1.2设E是F的一个扩域 , A和B是E的两个非空子集合 ,

则F(A⋃B)=F(A)(B)=F(B)(A) ,

证: 因为A⋃B=B⋃A , 所以 , 只需证明F(A⋃B)=F(A)(B) ,

因为F(A)(B)是域 , 且当然包含F , A和B , 所以包含F和A⋃B ,

又由于F(A⋃B)是包含F和A⋃B的最小域 , 所以F(A⋃B)包含于F(A)(B) ,

反之 , 由于F(A)(B)是包含F(A)和B的最小域 ,

而F(A⋃B)是域 , 并且包含F , A和B ,

所以F(A⋃B)包含F(A)和B , 于是F(A⋃B)包含F(A)(B) , F(A⋃B)=F(A)(B)

定理1.2说明域的扩张与添加元素的次序无关 ,

特别地 , 根据定理1.2 , 我们有F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)=F(α₁)(α₂)⋯(α_n) ,

因此 , 在域的扩张当中 , 最重要的是添加一个元素的包含F的单扩张F(α)

在下一节中我们将重点研究单扩张的结构 ,

二、代数元、超越元与极小多项式

尽管域的扩张与添加元素的次序无关 , 但是与添加元素的性质有关 ,

我们将添加的元素分为如下两类 ,

定义1.2设E是域F的扩张 , 对于属于E的α ,

若存在一个属于F[x]的非零多项式f(x) , 使得f(α)=0 ,

则称α是F上的代数元 , 否则称α是F上的超越元 ,

有理数域上的代数元称为代数数 , 超越元称为超越数 ,

法国数学家埃尔米特证明了e是超越数 ,

德国数学家林德曼证明了π是超越数 ,

定义1.3如果α是域F上的代数元 ,

则称F[x]中以α为根、次数最低、首项系数为1的非零多项式

为α在F上的极小多项式 ,

若α是域F上的代数元 , 则在F上必有以α为根的多项式 ,

特别地 ,

在以α为根的多项式中一定可以找到次数最低、首项系数为1的多项式 ,

因此 , 代数元一定有极小多项式 ,

关于极小多项式我们有如下性质:

定理1.3设f(x)是α在域F上的一个极小多项式 , 则

(1)f(x)是F[x]中的不可约元 ,

(2)当且仅当f(x)|g(x)时 , g(x)是F[x]中以α为根的多项式 ,

(3)α在F上的极小多项式是唯一的 ,

证: (1) 设g(x)是f(x)的因子 , 则存在属于F[x]的h(x) , 使得f(x)=g(x)h(x) ,

因为f(α)=0 , 所以g(α)h(α)=0 ,

由于g(α) , h(α)属于F(α) , 所以g(α)=0或h(α)=0 ,

若g(α)=0 , 则根据f(x)的取法可知 , deg g(x)=deg f(x) ,

从而 , h(x)属于F‒{0} , 即g(x)~f(x) ,

若h(α)=0 , 同理可得 , g(x)属于F‒{0} , 即g(x)是可逆元 ,

也就是说 , f(x)只有平凡因子 , 从而f(x)是不可约元 ,

(2) 由(1)知f(x)是F[x]中的不可约元 ,

因此 , 对F[x]中任意多项式g(x)有f(x)|g(x)或(f(x) , g(x))=1 ,

若g(x)是F[x]中以α为根的多项式 , 则必有f(x)|g(x) ,

反之 , 若f(x)|g(x) , 则g(α)=0 ,

(3) 若f(x) , g(x)都是α的极小多项式 , 则由(2)的结论可知 ,

f(x) , g(x)互相整除 , 即它们相差F的一个非零元 ,

又因它们的首项系数相等 , 因而 , f(x)=g(x) ,

事实上 , 定理1.3(1)的逆命题也是成立的 ,

定理1.4设F是域 , f(x)是F[x]中以α为根 , 首项系数为1的多项式 ,

若f(x)是F[x]中的不可约元 , 则f(x)是α在F上的极小多项式 ,

证: 设g(x)是F[x]中以α为根的多项式 ,

因为f(x)是F[x]中的不可约元 , 所以f(x)|g(x) , 即deg f(x)⩽deg g(x) ,

从而根据极小多项式的定义得证

因为代数元的极小多项式是唯一的 , 所以我们可以给出如下定义 ,

定义1.4设f(x)是α在域F上的极小多项式 ,

若deg f(x)=n , 则称α是域F上的n次代数元 ,

例1.1试证明属于R的α=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$是有理数域上的4次代数元 ,

证: 首先 , 确定一个以α为根的有理系数多项式f(x) ,

因为α‒$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$ , 所以(α‒$\sqrt{2}$)²=($\sqrt{3}$)² , 即α²‒2$\sqrt{2}$α+2=3 ,

再由α²‒1=2$\sqrt{2}$α可得α⁴‒2α²+1=8α² , 即α⁴‒10α²+1=0 ,

因此 , α是f(x)=x⁴‒10x²+1的一个根 , 于是α是有理数域的代数元 ,

其次 , f(x)=x⁴‒10x²+1就是α在有理数域上的极小多项式 ,

对此 , 我们只要说明f(x)是Q[x]中的不可约元即可 ,

事实上 , f(x)的4个根分别为$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}$‒$\sqrt{3}$ , ‒$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$ , ‒$\sqrt{2}$‒$\sqrt{3}$ ,

所以 , f(x)不可能有1次有理系数因子 ,

另外 , f(x)的4个根之中的任意两个根的和与积不可能同时为有理数 ,

所以f(x)不可能有2次有理系数因子 , 从而多项式f(x)是Q[x]中的不可约元 ,

三、域的扩张次数

事实上 , 若域E是域F的扩域 , 则E是F上的向量空间

定义1.5设V是一个交换群 , F是一个域 ,

若映射φ: F×V→V , (r , v)→rv满足下列条件:

(1)r(u+v)=ru+rv

(2)(r+s)v=rv+sv

(3)(rs)v=r(sv)

(4)1v=v , 其中r , s属于F , u , v属于V , 1是F的单位元 ,

则称V是域F上的向量空间 ,

例1.2证明若E是域F的扩张 , 则E是F上的向量空间 ,

证: 我们只要对属于F的r , 属于E的a定义ra为域E中的乘法运算即可 ,

每个域都可以看做其素子域上的向量空间 ,

可验证 , 线性代数中有关向量空间的诸多概念、性质等在域的扩张中仍然成立

定义1.6设E是域F的扩张 , 若将E视为F上的向量空间 ,

则向量空间的基底称为包含F的扩张E的基底 ,

向量空间的维数称为包含F的扩张E的扩张次数 , 并用|E: F|表示 ,

若|E : F|＜∞ , 则称包含F的E为有限扩张 , 否则称包含F的E为无限扩张 ,

例1.3证明包含Q的扩张Q($\sqrt{2}$)是有限扩张 , 包含Q的Q(x)是无限扩张 ,

其中x是Q的未定元 ,

证: 令A={a+b$\sqrt{2}$|a , b ∈ Q} ,

对属于Q[x]的任意f(x) , 有f(x)=(x²‒2)q(x)+r(x) , r(x)=0或deg r(x)＜2 ,

则f($\sqrt{2}$)=r($\sqrt{2}$) , 即f($\sqrt{2}$)属于A ,

再由属于A的$\frac{a + b\sqrt{2}}{c + d\sqrt{2}} = \frac{(ac - bd) + (bc - ad)\sqrt{2}}{c^{2} - 2d^{2}}$可知 ,

Q($\sqrt{2}$)=$\left\{ \left. \ \frac{g\left( \sqrt{2} \right)}{h\left( \sqrt{2} \right)} \right|g(x),h(x) \in Q\lbrack x\rbrack,h(\sqrt{2}) \neq 0 \right\}$中的元素

可以表示为a+b$\sqrt{2}$(a , b ∈ Q)的形式 ,

即Q($\sqrt{2}$)中任意元素都能由1 , $\sqrt{2}$表示 ,

另一方面 , 如果a+b$\sqrt{2}$=0 , a , b属于Q , 则a=b=0 , 即1 , $\sqrt{2}$是线性无关的 ,

综上 , 1 , $\sqrt{2}$是包含Q的扩张Q($\sqrt{2}$)的基底 ,

因此 , |Q($\sqrt{2}$) : Q|=2 , 即包含Q的Q($\sqrt{2}$)是有限扩张 ,

要证明包含Q的Q(x)是无限扩张 ,

只要我们能在Q(x)中找到无限个线性无关的元素就可以了 ,

为此 , 考察集合{1 , x , x² , ⋯ , xⁿ , ⋯} ,

易知其中的任意有限个元素1 , x , x² , ⋯ , xⁿ是线性无关的 ,

这由下面的事实确定 ,

a₀1+a₁x+a₂x²+⋯+a_nxⁿ=0⟺a₀=a₁=a₂=⋯=a_n=0

其中a_i属于Q , 0⩽i⩽n ,

习题