我们已经知道添加一元多项式环F[x]中不可约元的一个根

得到的单代数扩张的结构 ,

而根据第三章推论9.1可知 , 对于F[x]中的n次多项式f(x)来说 ,

一定存在F的扩域E , 使得f(x)在E上有n个根 ,

如果我们将f(x)的这n个根都添加到F中 ,

那么将得到F的一个扩域 , 这就是分裂域 ,

分裂域与n次代数方程的求解问题密切相关 ,

本节重点研究分裂域的存在性、唯一性及其与正规扩张的关系等问题 ,

定义4.1设F是域 , f(x)是F[x]中n(n⩾1)次多项式 ,

若F的扩域E满足下面两个条件:

(1)f(x)在E[x]中能分解成一次因子的乘积 ,

即f(x)=a(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n) , α_i属于E , i=1 , 2 , ⋯ , n , a属于F ,

(2)E=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

则称E是f(x)在F上的分裂域 ,

若f(x)是域F上的n(n⩾1)次多项式 , 则由第三章推论9.1可知 ,

存在F的扩域K , 使得f(x)在K[x]中能分解成一次因子的乘积

f(x)=a(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n) , a属于F , α_i属于K , i=1 , 2 , ⋯ , n ,

从而F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)是f(x)在F上的分裂域 ,

定理4.1域F上任意一个n(n⩾1)次多项式f(x)在F上都有分裂域 ,

定理4.2设φ是域F到域下的域同构 , f(x)是F[x]中的n(n⩾1)次多项式 ,

若E和$\overline{E}$分别是f(x)在F上和f^φ(x)在$\overline{F}$上的分裂域 ,

则存在E到$\overline{E}$的域同构ψ , 使得ψ|_F=φ

证: 用数学归纳法证明 ,

当n=1时 , φ为所求 , 假设定理结论对n‒1次多项式成立 ,

下面证明定理结论对n次多项式f(x)成立 ,

设p(x)是f(x)的一个不可约因子 , 且属于E的α是p(x)的一个根 ,

若令β是p^φ(x)的一个根 ,

则由本章定理2.2可知 , 存在F(α)到$\overline{F}$(β)的域同构τ , 使得τ(α)=β , τ|_F=φ ,

令f(x)=(x‒α)g(x) , 则g(x)属于F(α)[x] , f^τ(x)=(x‒β)⦁g^τ(x) ,

由于deg g(x)＜deg f(x) , 因此由归纳假设可知 ,

存在g(x)在F(α)上的分裂域E到g^τ(x)在$\overline{F}$(β)上的分裂域$\overline{E}$的域同构ψ ,

使得ψ|_F(α)=τ , 进而 , ψ|_F=τ|_F=φ ,

在上述定理中 , 若令$\overline{F}$=F , φ=id_F , 则有:

推论4.1设F是域 ,

则F[x]中n次多项式f(x)在F上的分裂域在同构意义下是唯一的(n⩾1)

例4.1设f(x)=x⁴‒x²‒2属于Q[x] ,

分别求f(x)在有理数域Q和在实数城R上的分裂域 ,

解: 因为f(x)=x⁴‒x²‒2=(x‒$\sqrt{2}$)(x+$\sqrt{2}$)(x‒i)(x+i) ,

所以f(x)在有理数域上的分裂域是Q(±$\sqrt{2}$ , ±i)=Q($\sqrt{2}$ , i)

易知 , 包含Q的扩张Q($\sqrt{2}$ , i)的本原元是$\sqrt{2}$+i ,

因此 , f(x)在有理数域上的分裂域是Q($\sqrt{2}$+i) ,

f(x)在实数域上的分裂域是R(±$\sqrt{2}$ , ±i) , 而易知R(±$\sqrt{2}$ , ±i)=R(i)=C ,

例4.2求多项式x⁵‒1在有理数域Q上的分裂域 ,

解: 设α=cos$\ \frac{2\pi}{5}\$+isin$\ \frac{2\pi}{5}\$ , 则x⁵‒1=(x‒α)(x‒α²)(x‒α³)(x‒α⁴)(x‒α⁵) ,

所以x⁵‒1在有理数域Q上的分裂域为Q(α , α² , α³ , α⁴ , α⁵)=Q(α)=Q[α] ,

例4.3设f(x)=x²+x+2属于Z₃[x] , 试证明Z₃[i]是f(x)在Z₃上的分裂域

证: 由f(x)=(x‒1+i)(x‒1‒i)可知 , f(x)在Z₃上的分裂域是Z₃(1+i , 1‒i) ,

因为1‒(1±i)=∓i , 所以Z₃(1+i , 1‒i)=Z₃(i) ,

又因为i(i是x²+1的根)是Z₃上的代数元 , 所以Z₃(i)=Z₃[i] ,

即Z₃[i]是f(x)在Z₃上的分裂域 ,

例4.4设F是域 , 且Char F=p＞0 ,

试证明若α是F[x]中多项式x^p‒t的一个根 , 则F(α)是x^p‒t在F上的分裂域 ,

证: 因为α^p‒t=0 , 所以x^p‒t=x^p‒α^p=(x‒α)^p , 即α是x^p‒t的p重根 ,

因此 , x^p‒t在F上的分裂域为F[α] ,

下面来讨论与分裂域相关的正规扩张的性质 ,

定义4.2设包含F的E是域的有限扩张 ,

如果当F[x]中的不可约元的一个根属于E时 , 该不可约元的其他根也属于E ,

那么称包含F的E是正规扩张 ,

包含F的正规扩张E的概念也可以等价地定义为 :

E中任意元素α在F上的极小多项式在E[x]中能分解成一次因子的乘积 ,

定理4.3设包含F的E是域扩张 ,

则当且仅当E是F[x]中某个多项式在F上的分裂域时 , 包含F的E是正规扩张 ,

证: (必要性)若包含F的E是正规扩张 , 则包含F的E是有限扩张 ,

根据本章定理3.3(2)可知 ,

存在F上的代数元α₁ , α₂ , ⋯ , α_n , 使得E=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

设α₁ , α₂ , ⋯ , α_n在F上的极小多项式分别是f₁(x) , f₂(x) , ⋯ , f_n(x) ,

f₁(x) , f₂(x) , ⋯ , f_n(x)在F上的分裂域为K ,

因为包含F的E是正规扩张 , 所以 , f₁(x) , f₂(x) , ⋯ , f_n(x)的所有根都在E中 ,

从而 , f₁(x) , f₂(x) , ⋯ , f_n(x)的所有根都在E中 , 那么K包含于E

但是 , F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)包含于K , 因而K=E ,

即E是多项式f₁(x)f₂(x)⋯f_n(x)在F上的分裂域 ,

(充分性)假设E是F[x]中多项式f(x)在F上的分裂域 ,

则存在属于E的α₁ , α₂ , ⋯ , α_n使得E=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

且f(x)=(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n) ,

由本章定理3.3(1)可知 , 包含F的E是有限扩张

接下来我们仅需要指出: 对于F[x]中任一不可约元p(x) ,

若属于E的α是p(x)的根 , 则p(x)的任意一个根β属于E ,

因为α , β都是p(x)的根 , 因此由本章推论2.1可知 ,

存在F(α)到F(β)的域同构φ , 使得φ|_F=id_F , 且φ(α)=β ,

再由f(x)∈F[x]⊆F(α)[x] , F(β)[x]及定理4.2可知 ,

存在F(α)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)到F(β)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)的同构τ ,

从而 , |F(α)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) : F|=|F(β)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) : F| ,

因为α属于E , E=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

所以F(α)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)=E , F(β)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)=E(β) ,

进而|E : F|=|E(β) : F|=|E(β) : E||E : F| ,

因此 , |E(β) : E|=1 , 即属于E , 证毕 ,

推论4.2设K⊇E⊇F是域的扩张 ,

若包含F的K是正规扩张 , 则包含E的K是正规扩张 ,

证: 因为包含F的K是正规扩张 , 所以包含F的K是有限扩张 ,

但是 , E在F上的向量空间是K在F上的向量空间的子空间 ,

因此 , 包含F的E是有限扩张 ,

根据定理4.3可知 ,

存在属于F[x]的f(x)=(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n) , 使得K=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) ,

因为E包含F , 所以f(x)属于E[x] ,

且K=F(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n)=E(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n) , 即K是f(x)在E上的分裂域 ,

因此 , 包含E的K是正规扩张 ,

注意 , 在推论4.2中 , 包含F的扩张E不一定是正规扩张 ,

例如 , x³‒2是Q[x]中的不可约元 ,

若设K是x³‒2在Q上的分裂域 , 则包含Q的K是正规扩张 ,

但是包含Q的Q($\sqrt[3]{2}$)不是正规扩张(因为$\sqrt[3]{2}$ω不属于Q($\sqrt[3]{2}$) , 其中ω=$\frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}$)

下例说明 , 在扩张K⊇E⊇F中 ,

即使包含E的K和包含F的E都是正规扩张 , 包含F的K也不一定是正规扩张 ,

例4.5因为x²‒2=(x‒$\sqrt{2}$)(x+$\sqrt{2}$) , 所以包含Q的Q($\sqrt{2}$)是正规扩张 ,

又因为x²‒$\sqrt{2}$=(x‒$\sqrt[4]{2}$)(x+$\sqrt[4]{2}$) , 所以包含Q($\sqrt{2}$)的Q($\sqrt[4]{2}$)也是正规扩张 ,

但是x⁴‒2=(x‒$\sqrt[4]{2}$)(x+$\sqrt[4]{2}$)(x‒$\sqrt[4]{2}$i)(x+$\sqrt[4]{2}$i) ,

所以包含Q的Q($\sqrt[4]{2}$)不是正规扩张

习题