伽罗瓦理论是域论中最重要的内容 , 它将域的扩张与群联系起来 ,

本节主要介绍伽罗瓦基本定理(定理6.2) , 我们先引入几个常用的概念和符号 ,

设E , F是域 , 若令Aut(E)={φ|φ是E的自同构} , 则按映射的合成运算 ,

Aut(E)构成群 , 称其为E的自同构群 ,

如果E包含F , 那么在自同构群Aut(E)中 , 有一个子群是我们非常关心的 ,

即其中的F‒同构组成的群Aut_F(E)={φ ∈ AutE|φ(a)=a , ∀ a ∈ F} ,

称其为E关于F的伽罗瓦群或包含F的扩张E的伽罗瓦群 ,

若K是包含F的E的中间域 , 即E⊇K⊇F , 则Aut_K(E)是伽罗瓦群Aut_F(E)的子群 ,

并记Aut_K(E)为K' , 那么F'=Aut_F(E) , E'={id_E}

若H是伽罗瓦群Aut_F(E)的子群 , 则易知H'={x ∈ E|σ(x)=x , ∀ σ ∈ H}是E的子域

且H'包含F , 称H'为群H的固定域 ,

若K是包含F的E的中间域 , 则K'是伽罗瓦群Aut_F(E)的子群 ,

那么K'的固定域为(K')' , 简记为K"

同样地 , 若H是伽罗瓦群Aut_F(E)的子群 , 则(H')'=H"是Aut_F(E)的子群 ,

后面我们将会看到K包含于K" , H包含于H" ,

例6.1试确定复数域C关于实数域R的伽罗瓦群 ,

解: 显然 , C=R(i)={a+bi|a , b ∈ R} ,

若φ属于Aut_R(C) , 则φ(a+bi)=a+bφ(i) , 即φ是由φ(i)决定的 ,

而(φ(i))²=φ(i²)=φ(‒1)=‒1 , 即属于C的φ(i)=±i , 因此Aut_R(C)={φ₀ , φ₁} ,

其中φ₀(a+bi)=a+bi , φ₁(a+bi)=a‒bi , a , b属于R ,

例6.2试确定包含Q的扩张Q($\sqrt[3]{2}$)的伽罗瓦群 ,

解: $\sqrt[3]{2}$在Q上的极小多项式为f(x)=x³‒2 , 则Q($\sqrt[3]{2}$)={a+b$\sqrt[3]{2}$+$\sqrt[3]{4}$|a , b , c ∈ Q} ,

那么对属于Aut_Q($\sqrt[3]{2}$)的任意φ , φ由φ($\sqrt[3]{2}$)决定 ,

因为$\sqrt[3]{2}$是f(x)的根 , 所以φ($\sqrt[3]{2}$)是f(x)的根 ,

因此 , φ($\sqrt[3]{2}$)=$\sqrt[3]{2}$ , $\sqrt[3]{2}$ω或$\sqrt[3]{2}$ω² , 其中ω=$\frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}$

但是 , $\sqrt[3]{2}$ω和$\sqrt[3]{2}$ω²不属于Q($\sqrt[3]{2}$) ,

因此φ($\sqrt[3]{2}$)只能等于$\sqrt[3]{2}$ , 即φ(a+b$\sqrt[3]{2}$+c$\sqrt[3]{4}$)=a+b$\sqrt[3]{2}$+c$\sqrt[3]{4}$ , Aut_Q($\sqrt[3]{2}$)={id} ,

注意 , 对包含F的任意扩张E , 有E'={id_E} , 从而E"=E ,

但是 , 一般情况下F"≠F ,

例如 , 在例6.1中 , 有R'=Aut_R(C) , R"=R ,

但是 , 在例6.2中 , Q'={id} , Q"=Q($\sqrt[3]{2}$)≠Q ,

定义6.1令包含F的E是域的扩张 , 如果F"=F , 那么称E是F的伽罗瓦扩张

命题6.1令包含F的E是域的扩张 , K , L是E的中间域 , H , J是Aut_F(E)的子群

(1)若L包含于K , 则K'包含于L'

(2)若H包含于J , 则J'包含于H'

(3)K包含于K" , H包含于H"

至此 , 我们知道在包含F的扩张E的中间域

与Aut_F(E)的子群之间有如下的对应关系:

E ⊇K ⊇F E=E" ⊇H'⊇F"⊇F

↓ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑

E'={id_E}⊆K'⊆F'=Aut_F(E) {id_E}⊆H⊆F'=Aut_F(E)

定义6.2令K是包含F的扩张E的中间域 ,

若K=K" , 则称K为包含F的扩张E的闭域 ,

令H是域E关于域F的伽罗瓦群Aut_F(E)的子群 ,

若H=H" , 则称H为包含F的扩张E的闭群 ,

命题6.2若包含F的E是域的扩张 ,

则在包含F的E的所有闭域和所有闭群之间存在一一对应

证: 若K是包含F的E的闭域 , 则(K')"=(K")'=K' , 即K'是闭群 ,

因此我们可以给出闭域到闭群的映射φ : K→K'

设K和L都是闭域 , 若K'=L' , 则K"=L" ,

再由K和L都是闭域有K=L , 即φ是单射 ,

设H是包含F的E的闭群 , 则(H')"=(H")'=H' , 即H'是闭域 , 且(H')'=H"=H ,

这说明φ是满射 , 因而φ是所有闭域到所有闭群的双射

既然域的扩张与其伽罗瓦群之间有对应关系 ,

那么域的扩张次数与群的指数之间又是什么关系呢?

引理6.1令L , M是包含F的扩张E的中间域 , 且L包含于M ,

若|M' : L'|=n＜∞ , 则|L : M|⩽n ,

证: 对扩张次数n用数学归纳法 , 当n=1时 , 结论显然成立 ,

假设扩张次数小于n时 , 结论成立 , 考察扩张次数等于n的情况 ,

若存在包含L的M的中间域K , 满足K≠M , K≠L , 则|M : K|＜n , |K : L|＜n ,

由归纳假设得|K' : M'||L' : K'|⩽|M : K||K : L| ,

再由本章定理3.2及第二章推论3.2 , 不等式两端变为|L' : M'|⩽|M : L| , 结论成立

若不存在包含L的M的中间域K , 满足K≠M , K≠L ,

则对属于M‒L的任意β , 必有M=L(β) ,

因为包含L的M是有限扩张 , 所以β是L上的代数元 ,

令β的属于L[x]的极小多项式为f(x) , 则deg f(x)=n ,

考虑L'关于M的陪集分解, 令τM'是一个左陪集 , 其中τ属于L'

因为β是属于L[x]的f(x)的根 , 所以τ(β)也是f(x)的根 ,

若σM'(σ属于L')是一个左陪集 , σM'≠τM' , 则τ(β)≠σ(β) ,

事实上 , 若τ(β)=σ(β) , 则β=τ^‒1σ(β) ,

又因M=L(β) , τ , σ属于L' , 所以τ^‒1σ属于M' , 从而 , σM'=τM' , 矛盾 ,

也就是说 , 不同左陪集的个数不会超过f(x)不同根的个数 , 所以 , |L' : M'|⩽n

推论6.1若包含F的E是域的有限扩张 , 则|E : F|⩾|Aut_FE| ,

即E关于F的伽罗瓦群是有限群 ,

引理6.2令包含F的E是域的扩张 ,

若包含于J的H是Aut_FE的子群 , 且|J : H|=n＜∞ , 则|H' : J'|⩽|J : H| ,

证: 用反证法 , 若[H' : J']＞n , 则在将H'视为J'上的向量空间时 ,

至少存在n+1个线性无关的元素u₁ , u₂ , ⋯ , u_n+1属于H'

又因|J : H|=n＜∞ , 所以 , 可以令J=τ₁H⋃⋯⋃τ_nH , 这里当i≠j时 , 有τ_iH≠τ_iH ,

考虑E上的方程组

$\left\{ \begin{array}{r} \tau_{1}(u_{1})x_{1} + \tau_{1}(u_{2})x_{2} + \cdots + \tau_{1}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \\ \tau_{2}(u_{1})x_{1} + \tau_{2}(u_{2})x_{2} + \cdots + \tau_{2}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \tau_{n}(u_{1})x_{1} + \tau_{n}(u_{2})x_{2} + \cdots + \tau_{n}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \end{array} \right.\$ (1)

易知 , n个方程n+1个变量的齐次线性方程组(1)有非零解(x₁ , x₂ , ⋯ , x_n+1)≠0 ,

因为我们可以重排方程组中“列”的顺序 ,

所以可以假设其中一组非零解为(a₁ , ⋯ , a_r , 0 , ⋯ , 0) , a_i≠0 , a_i属于E(1⩽i⩽r)

并且这是一组含非零分量(r个)最少的一个解,

进而可以假设满足非零、其非零分量个数最少条件的解的形式为

(1 , a₂ , ⋯ , a_r , 0 , ⋯ , 0) ,

从而 , 对属于J的任意σ , 根据σ是E的自同构得

(σ(1) , σ(a₂) , ⋯ , σ(a_r) , 0 , ⋯ , 0)是下面齐次线性方程组的解,

$\left\{ \begin{array}{r} \sigma\tau_{1}(u_{1})x_{1} + \sigma\tau_{1}(u_{2})x_{2} + \cdots + \sigma\tau_{1}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \\ \sigma\tau_{2}(u_{1})x_{1} + {\sigma\tau}_{2}(u_{2})x_{2} + \cdots + \sigma\tau_{2}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \sigma\tau_{n}(u_{1})x_{1} + \sigma\tau_{n}(u_{2})x_{2} + \cdots + \sigma\tau_{n}(u_{n + 1})x_{n + 1} = 0 \end{array} \right.\$ (2)

根据左陪集的性质 , 有J=στ₁H⋃⋯⋃στ_nH , 这里当i≠j时 , 有στ_iH≠στ_jH ,

又因为u₁ , u₂ , ⋯ , u_n+1属于H'

所以方程组(2)与(1)的差别仅是交换了“行” , 即它们是同一个方程组 ,

那么它们解的差

(σ(1) , σ(a₂) , ⋯ , σ(a_r) , 0 , ⋯ , 0)‒(1 , a₂ , ⋯ , a_r , 0 , ⋯ , 0)

=(0 , σ(a₂) , ‒a₂ , ⋯ , σ(a_r)‒a_r , 0 , ⋯ , 0)

也是方程组的解, 并且其非零分量的个数小于r ,

但是 , 我们取的(1 , a₂ , ⋯ , a_r , 0 , ⋯ , 0)是满足其非零分量个数最少条件的解,

因此 , σ(a_i)=a_{i ,} i=2 , ⋯ , r , 即a₂ , ⋯ , a_r , 属于J'

当然对于τ_j(1⩽j⩽n)有τ_j(a)=a_i , i=1 , 2 , ⋯ , r ,

因此 , τ_i(u₁+u₂a₂+⋯+u_ra_r)=τ_i(u₁)+τ_i(u₂)a₂++τ_i(u_r)a_r=0

因为τ_i是双射 , 所以u₁+u₂a₂+⋯+u_ra_r=0

即属于H'的u₁ , u₂ , ⋯ , u_n+1在J'上是线性相关的 , 矛盾

因此 , |H' : J'|⩽|J : H| ,

定理6.1若包含F的E是域的扩张 , 包含于K的L是E , F的中间域 ,

令H , J是Aut_F(E)的子群 , 且H包含于J , 则

(1)如果L是包含F的E的闭域 , 且|K : L|＜∞ , 那么K是闭域 , 且|L' : K'|=|K : L|

(2)如果H是包含F的E的闭群 , 且|J : H|＜∞ , 那么J是闭群 , 且|H' : J'|=|J : H|

证: (1)因为L=L" , K包含于K" , |K : L|＜∞ ,

所以|K : L|⩾|L' : K'|⩾|K" : L"|⩾|K : L"|=|K : L| ,

因此 , |L' : K'|=|K : L| , |K" : L"|=|K : L"| , 进而有K=K" , K是闭域 ,

(2)使用与(1)同样的方法可证, ”

令包含F的E是域的有限扩张 ,

若包含F的E是伽罗瓦扩张 , 则简称包含F的E是有限伽罗瓦扩张 ,

引理6.3设E是F的扩域 , H是E关于F的伽罗瓦群的子群 ,

试证明对属于Aut_F(E)的任意σ , 有(σHσ^‒1)'=σ(H') ,

证: 显然 , σHσ^‒1是Aut_F(E)的子群 ,

若a属于(σHσ^‒1)' , 则对属于H的任意h , hσ^‒1(a)=σ^‒1(a) ,

进而 , σ^‒1(a)属于H' , a属于σ(H') , 这表明(σHσ^‒1)包含于σ(H')

反之 , 若a属于H' , 则对属于H的任意h , 有h(a)=a ,

进而 , σhσ^‒1(σ(a))=σh(a)=σ(a) , 即σ(a)属于(σHσ^‒1)'

因此 , σ(H')包含于(σHσ^‒1)' , 综上 , (σHσ^‒1)'=σ(H')

命题6.3有限伽罗瓦扩张是正规扩张 ,

证: 设包含F的E是有限伽罗瓦扩张 ,

属于F[x]的p(x)是不可约元 , 属于E的α是p(x)的根 ,

因为包含F的E是有限扩张 , 所以Aut_F(E)是有限群 ,

设{α₁=α , α₂ , ⋯ , α_r}是α在Aut_F(E)作用下的全部像的集合

(注意 , α₁ , α₂ , ⋯ , α_r两两不同且属于E) ,

构造多项式f(x)=(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_r)

对属于Aut_F(E)的任意σ , 有σ(α₁) , σ(α₂) , ⋯ , σ(α_r)是α₁ , α₂ , ⋯ , α_r的一个排列

因而f(x)的系数在σ作用下不变 , 即f(x)属于F"[x] ,

因为包含F的E是伽罗瓦扩张 , 所以F=F" , 即j(x)属于F[x] ,

对属于Aut_F(E)的任意σ , 由σ(α)也是p(x)的根可知 , α₁ , α₂ , ⋯ , α_r都是p(x)的根

因此 , f(x)|p(x) , 这表明f(x)与p(x)相差一个系数 ,

即存在属于F的a , 使得p(x)=a(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_r) , 即p(x)的根都在E中

从而包含F的E是正规扩张 ,

定理6.2(伽罗瓦基本定理)令包含F的E是有限伽罗瓦扩张 , 则

(1)在包含F的E的中间域和群Aut_F(E)的子群之间存在一一对应 ,

(2)若包含L的K是包含F的E的中间域 , 则|K : L|=|L' : K'| ,

若包含于J的H是Aut_F(E)的子群 , 则|J : H|=|H' : J'| ,

(3)若K是包含F的E的中间域 , 则当且仅当Aut_K(E)是Aut_F(E)的正规子群 ,

并且Aut_F(E)/Aut_K(E)≅Aut_F(K)时 , 包含F的K是正规扩张

证: (1) , (2)的证明留作习题 , 这里仅给出(3)的证明 ,

设包含F的K是正规扩张 ,

首先 , 我们说明对属于Aut_F(E)的任意σ , 必有σ|_K属于Aut_F(K) ,

即对属于K的任意k , 有σ(k)属于K ,

因为正规扩张是有限扩张 , 所以属于K的k有极小多项式 , 设为f(x) ,

因为k是f(x)的一个根 , 所以 , σ(k)也是f(x)的一个根 ,

又由包含F的K是正规扩张可知σ(k)属于K ,

因此 , 我们有映射φ : F'→Aut_F(K) , σ→σ|_K 易知 , φ是群同态 , 其中F'=Aut_F(E)

由群同态基本定理得F/Ker φ≅φ(F)⊆Aut_FK ,

因为Ker φ={σ ∈ F|σ|_K=id_K}=Aut_F(E)=K' , 所以 , Aut_K(E)是Aut_F(E)的正规子群

由(2)的结论和推论6.1可知|F' : K'|=|K : F|⩾|Aut_F(K)| ,

从而 , |Aut_F(K)|⩾|φ(F')|=|F'/K'|=|F' : K'|⩾|Aut_F(K)|

因此 , φ(F')=Aut_F(K) , F'/K'=Aut_F(E)/Aut_K(E)≅Aut_F(K) ,

反之 , 若K'=Aut_F(E)是F'的正规子群 , 则对属于F'的任意σ , 有σK'σ^‒1=K'

再由引理6.3得(σK'σ^‒1)=σ(K") , 即K"=σ(K") ,

因为包含F的E是有限伽罗瓦扩张 ,

所以由定理6.1(1)可知K是闭域 , 即K=K" , 从而σ(K)=K ,

此时我们可以定义映射φ: Aut_F(E)→Aut_F(K) , σ→σ|_K , 易知φ是群同态 ,

在包含于K的扩张F中 ,

由φ(Aut_F(E))包含于Aut_F(K)可知 , F包含于(Aut_F(K))'包含于(φ(Aut_F(E)))'

观察集合(φ(Aut_F(E)))'={a ∈ K|σ(a)=a , ∀σ ∈ φ(Aut_F(E))}

和(Aut_F(E))'={a ∈ E|σ(a)=a , ∀σ ∈ Aut_F(E)}

可得 , φ(Aut_F(E))'包含于(Aut_F(E))'

从而 , F包含于(Aut_F(K))包含于(Aut_F(E))'=F , F=(Aul_F(K))'

即包含F的K是伽罗瓦扩张 ,

再由命题6.3可知 , 包含F的K是正规扩张 ,

习题