1 , 令G是群 , 试证明对属于N的任意m , n , 有(G^(m))⁽ⁿ⁾=G^(m+n)

证明: 对m+n用数学归纳法 , 当m+n=0 , 1时显然成立 ,

假设结论对m+n成立 , 下证结论对m+n+1也成立 ,

分两种情况讨论 ,

(G^(m))⁽ⁿ⁺¹⁾=[(G^(m))⁽ⁿ⁾ , (G^(m))⁽ⁿ⁾]=[G^(m+n) , G^(m+n)]=G^(m+n+1)

(G^(m+1))⁽ⁿ⁾=[(G^(m+1))^(n‒1) , (G^(m+1))^(n‒1)]=[G^(m+n) , G^(m+n)]=G^(m+n+1)

2 , 试证明可解群的同态像是可解群 ,

证明: 设ρ是可解群G到群G'的同态映射 ,

则由群同态基本定理可知G/Ker ρ ≅ Im ρ ,

因为可解群的商群可解, 所以Im ρ可解,

3 , 设H是群G的极大正规子群 , 即H≠G ,

且真包含H的G的正规子群只有G本身 , 试证明G/H是单群 ,

证明: 设N/H是G/H的一个正规子群 , 则N是G的正规子群 , 且N包含H ,

从而N=H或N=G , 那么N/H={1}或N/H=G/H , 即G/H是单群 ,

4 , 试证明8 , 9阶群均是可解群 ,

证明: 由于8=2³ , 9=3² , 由[第四章例7.3]知它们均是可解群

5 , 试证明35阶群是可解群

证明: 由于35=5×7 , 由[第四章例7.4]知35阶群是可解群 ,

6 , 设N是群G的正规子群 , 且N⋂G⁽¹⁾={1} , 试证明N包含于C(G) ,

证明: 如果a属于N , g属于G , 则aga^‒1g^‒1属于N⋂G⁽¹⁾={1} ,

从而有aga^(‒1)g^(‒1)=1 , 即ag=ga , 因此a属于C(G) , N包含于C(G)

7 , 设H , N是群G的正规子群 , 且G/H , G/N都是可解群 ,

试证明G/(H⋂N)也是可解群 ,

证明: 因为H , N是群G的正规子群 , 所以正规子群H⋂N也是群G的正规子群 ,

由第一同构定理有HN/N≅H/(H⋂N) ,

因为G/N可解, 故HN/N为G/N的可解子群 ,

由第二同构定理 , 有(G/H⋂N)/(H/H⋂N)≅G/H ,

由[第四章命题7.2(3)]可知G/(H⋂N)可解

8 , 设H , N是群G的正规子群 , 若H , N都是G的可解子群 ,

试证明HN也是G的可解子群 ,

证明: 由第一同构定理知HN/N≅H/(H⋂N) , 由于H可解,

则H的商群H/H(H⋂N)可解,

又因为N可解, 所以由[第四章命题7.2(3)]可知HN可解,

习题1设σ是群G到G'的一个满同态 ,

试证明当且仅当G⁽¹⁾包含于Ker σ时 , G'是交换群

证明: 当且仅当G⁽¹⁾包含于Ker σ时 , 根据同构于G/Ker σ的G'是交换群 , 得证

习题2当且仅当G⁽¹⁾={e}时 , 群G是交换群

证明: 由换位子群的定义可得 ,

习题3求交错群A₄的换位子群 ,

解: A₄有正规子群K={(1) , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)} ,

于是有商群A₄/K , 商群A₄/K阶为3 , 因此是交换群 , $A_{4}^{(1)}$包含于K ,

因为A₄不是交换群 , 所以$A_{4}^{(1)}$≠{e} ,

因为(123)(12)(34)(123)^‒1=(14)(23) , 所以⟨(12)(34)⟩不是A₄的正规子群 ,

同理⟨(13)(24)⟩和⟨(14)(23)⟩也不是A₄的正规子群 , 即$A_{4}^{(1)}$不能是2阶群 ,

故$A_{4}^{(1)}$=K

习题4求对称群S_n(n＞2)的换位子群 ,

解: 因为A_n是S_n的正规子群 , 商群S_n/A_n的阶为2 ,

所以S_n/A_n是交换群 , 因此 , $S_{n}^{(1)}$包含于A_n

因为A_n(n＞2)可以由3轮换生成

而对于每一个3轮换(ijk)有(ijk)=(ij)(ik)(ij)^‒1(ik)^‒1属于$S_{n}^{(1)}$

因此A_n包含于$S_{n}^{(1)}$ , 故$S_{n}^{(1)}$=A_n

习题5设G是可解群 , 试证明G有正规子群列G=G₀⊇G₁⊇⋯⊇G_s‒1⊇G_s={1}满足:

G_i是G的正规子群且商群G_i‒1/G_i是交换群 , 其中i=1 , ⋯ , s

证明: 取G_i=G⁽¹⁾即可 ,

习题6设G是p‒群 , 试证明G有正规子群列G=G₀⊇G₁⊇⋯⊇G_s‒1⊇G_s={1}

满足G_i是G的正规子群且商群G_i‒1/G_i包含在G/G_i的中心里 ,其中i=1 , ⋯ , s

证明: 对|G|用数学归纳法 ,

若|G|=p , 显然成立 , 若|G|＞p , 则G的中心C(G)≠{1} ,

从而G/C(G)有满足条件的正规子群列G/C(G)=G₀/C(G)⊇G₁/C(G)⊇⋯⊇G_s‒1/C(G)={1} ,

易知G=G₀⊇G₁⊇⋯⊇G_s‒1⊇G_s=C(G)⊇{1}是满足条件的G的正规子群列 ,

习题7设G是有限可解群 ,

若G的正规子群列G=G₀⊇G₁⊇G₂⊇G₃⊇G₄={1}的商群G_i‒1/G_i的阶

依次为2 , 3 , 2 , 2 , 其中i=1 , ⋯ , 4 , 求G的阶 ,

解: G是有限可解群 , 若G的正规子群列G=G₀⊇G₁⊇⋯⊇G_s‒1⊇G_s={1}

满足商群G_i‒1/G_i的阶为素数p_i , 其中i=1 , ⋯ , s

则|G|=|G₀|=|G₁||G₀ : G₁|=|G₂||G₁ : G₂||G₀ : G₁|

=|G_s||G_s‒1 : G_s|⋯|G₁ : G₂||G₀ : G₁|=p_s⋯p₂p₁

即商群的个数s由|G|的素因子个数决定 ,

商群的阶构成的素数组p₁ , p₂ , ⋯ , p_s(不考虑先后次序)由|G|唯一决定 , |G|=2×3×2×2=24