1 , 设Q是有理数域 , x³‒a是Q[x]中的不可约元 , α是x³‒a的一个根 ,

试证明Q(α)不是x³‒a在Q上的分裂域 ,

证明: 因为α是x³‒a的一个根 , 所以x³‒a的另外两个根为αω , αω²

若Q(α)是x³‒a在Q上的分裂域 , 则αω , αω²属于Q(α) ,

从而有ω属于Q(α) , 于是Q(α)包含Q(ω) ,

因此|Q(α) : Q|=|Q(α) : Q(ω)||Q(ω) : Q|

因为|Q(α) : Q|=3 , |Q(ω) : Q|=2 , 所以矛盾 , 故Q(α)不是x³‒a在Q上的分裂域

2 , 设α是属于Q[x]的f(x)=x²+x+1的根

求f(x)在Q上的分裂域及f(x)在分裂域中的因子分解,

解: 因为f(x)是二次多项式 , 因此若α是f(x)的根 ,

‒1‒α是f(x)的另一个根 , 且f(x)=(x‒α)(x+1+α) ,

f(x)在Q上的分裂域为Q(α) ,

3 , 求多项式f(x)=x³‒x²‒x‒2在有理数域上的分裂域 ,

解: 因为f(x)=x³‒x²‒x‒2=(x²+x+1)(x‒2)=(x‒ω)(x‒$\overline{\omega}$)(x‒2) ,

所以f(x)在有理数域上的分裂域为Q(ω , $\overline{\omega}$ , 2)=Q(ω) ,

4 , 设p是素数 , 求$x^{p^{n}}$‒1在Z_p上的分裂域 ,

解: 因为f(x)=$x^{p^{n}}$‒1=(x‒1$)^{p^{n}}$ , 故f(x)=$x^{p^{n}}$‒1在Z_p上的分裂域为Z_p

5 , 试证明包含Q的扩张Q($\sqrt[4]{9}$)是正规扩张 ,

证明: 由于$\sqrt[4]{9}$=$\sqrt{3}$在Q上的极小多项式是x²‒3 ,

而x²‒3在Q上的分裂域为Q($\sqrt[4]{9}$) ,

所以包含Q的Q($\sqrt[4]{9}$)是正规扩张

6 , 试证明扩张次数为2的扩张是正规扩张 ,

证明: 设|E : F|=2 , 取属于E‒F的α ,

则由|E : F|=|E : F(α)||F(α) : F| , 知|F(α) : F|=2 , |E : F(α)|=1 , E=F(α) ,

设α在F上的极小多项式为x²+ax+b , 则x²+ax+b的根为α , β=‒a‒α ,

x²+ax+b在F上的分裂域为F(α , β)=F(α) ,

所以包含F的E是正规扩张 ,

7 , 试证明Q($\sqrt[3]{5}$)不是Q的正规扩张 ,

证明: Q[x]中不可约元f(x)=x³‒5的根为$\sqrt[3]{5}$ , ω$\sqrt[3]{5}$ , ω²$\sqrt[3]{5}$ , 其中ω=$\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$

显然ω$\sqrt[3]{5}$ , ω²$\sqrt[3]{5}$不属于Q($\sqrt[3]{5}$) , 故Q($\sqrt[3]{5}$)不是Q上的正规扩张 ,

8 , 求属于Z₂[x]的多项式f(x)=x+1在Z₂上的分裂域 ,

解: 因为f(x)=(x‒1)(x²+x+1) , 且x²+x+1是Z₂上的不可约多项式 ,

所以f(x)在Z₂上的分裂域为Z₂(α) , 其中α是x²+x+1的一个根 ,

习题1设F为域 , E是F[x]中n次多项式f(x)在F上的分裂域 , 求证$\left. \ |E:F| \right|n!$

证明: 对n用数学归纳法 , 显然 , n=1时结论成立 ,

假设结论对n‒1次多项式成立 ,

设f(x)=a(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n) , 其中a属于F , α₁ , α₂ , ⋯ , α_n属于E

令f_n‒1(x)=a(x‒α₁)(x‒α₂)⋯(x‒α_n‒1) , 则f_n‒1(x)是F(α_n)上多项式

且在F(α_n)上的分裂域为F(α_n)(α₁ , α₂ , ⋯ , α_n‒1)=E

由归纳假设知$\left. \ \left| E:F\left( \alpha_{n} \right) \right| \right|(n - 1)!$

由α_n是F[x]中n次多项式f(x)的根可知$\left. \ \left| F\left( \alpha_{n} \right):F \right| \right|n!$

因此 , |E : F|=$\left| E:F(\alpha_{n}) \right|\left. \ \left| F\left( \alpha_{n} \right):F \right| \right|n!$

习题2求f(x)=x³‒2在有理数域上的分裂域E , 并求|E : Q| ,

解: 因为f(x)=(x‒$\sqrt[3]{2}$)(x‒$\sqrt[3]{2}$ω)(x‒$\sqrt[3]{2}\overline{\omega}$)

所以f(x)在有理数域上的分裂域为Q($\sqrt[3]{2}$ , $\sqrt[3]{2}$ω , $\sqrt[3]{2}\overline{\omega}$)=Q($\sqrt[3]{2}$ , $\sqrt{3}$i) ,

扩张次数为|Q($\sqrt[3]{2}$ , $\sqrt{3}$i) : Q|=|Q($\sqrt[3]{2}$ , $\sqrt{3}$i) : Q($\sqrt[3]{2}$)||Q($\sqrt[3]{2}$) : Q|=6 ,

习题3求f(x)=x⁴‒10x²+1在有理数域上的分裂域E , 并求|E : Q| ,

解: 因为f(x)=(x⁴‒2x²+1)‒8x²=(x²‒2$\sqrt{2}$x‒1)(x²+2$\sqrt{2}$x‒1)

=(x‒$\sqrt{2}$‒3)(x‒$\sqrt{2}$+3)(x+$\sqrt{2}$‒3)(x+$\sqrt{2}$+3) ,

所以f(x)在Q上的分裂域为Q($\sqrt{2}$±$\sqrt{3}$)=Q($\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$)=Q($\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$) , |E : Q|=4 ,

习题4求f(x)=x⁵+x³‒2x²‒2在有理数域上的分裂域E , 并求|E : Q| ,

解: 因为f(x)=(x‒i)(x+i)(x‒$\sqrt[3]{2}$)(x‒$\sqrt[3]{2}$ω)(x‒$\sqrt[3]{2}\overline{\omega}$)

所以f(x)在有理数域上的分裂域为Q(i , $\sqrt{3}$ , $\sqrt[3]{2}$) , |E : Q|=12 ,

习题5将Z₂上多项式f(x)=x³+x+1表示成分裂域上一次因式的乘积的形式 ,

解: 易知f(x)是Z₂[x]中不可约多项式 , f(x)在Z₂[x]/⟨f(x)⟩中有根$\overline{x}$

而Z₂($\overline{x}$)≅Z₂[x]/⟨f(x)⟩ , Z₂($\overline{x}$)=|a$\overline{x}$²+b$\overline{x}$+c|a , b , c ∈ Z₂| ,

容易验证$\overline{x}$² , $\overline{x}$²+$\overline{x}$是f(x)的根 , 所以分裂域为Z₂($\overline{x}$) , f(x)=(x‒$\overline{x}$)(x‒$\overline{x}$²)(x‒$\overline{x}$²‒$\overline{x}$)

习题6设f(x)=$x^{p^{n}}$‒x在Z_p上的分裂域为E , 证明|E|=pⁿ , 并求|E : Z_p| ,

证明: 设F是f(x)在E中所有根的集合 , 则对属于F的任意a , b ,

我们有(a‒b$)^{p^{n}}$=$a^{p^{n}}$‒$b^{p^{n}}$=a‒b , (ab^‒1$)^{p^{n}}$=$a^{p^{n}}$($b^{p^{n}}$)^‒1=ab^‒1

即a‒b , ab^‒1属于F , 因而F是E的子域 ,

又因为f(x)无重根(f'(x)=‒1) , 所以F的阶为pⁿ

若c属于Z_p , 则c=c^p , 从而c=$c^{p^{n}}$ , 即c属于F

从而E=Z_p(F)⊆F⊆E , 即E=F , 易知 , |E : Z_p|=n

习题7求f(x)=x⁶+$\overline{2}$x³+$\overline{2}$在Z₃上的分裂域E , 并求|E : Z₃| ,

解: 因为f(x)=x⁶+$\overline{2}$x³+$\overline{2}$=(x²+$\overline{2}$x+$\overline{2}$)³ , 而x²+$\overline{2}$x+$\overline{2}$在Z₃上不可约 ,

所以f(x)在Z₃上的分裂域为Z₃(α) , 其中α是x²+$\overline{2}$x+$\overline{2}$的一个根 ,

易知|Z₃(α) : Z₃|=2 ,

习题8设F是域 , E是属于F[x]的多项式f(x)在F上的分裂域 ,

K是包含F的E的中间域 , 试证明E是f(x)在K上的分裂域 ,

证明: 设f(x)在E中的根为α₁ , ⋯ , α_n则E=F(α₁ , ⋯ , α_n) ,

从而f(x)在K上的分裂域为K(α₁ , ⋯ , α_n) , 而E⊇K(α₁ , ⋯ , α_n)⊇F(α₁ , ⋯ , α_n)=E

所以E是f(x)在上的分裂域 ,

习题9证明Q($\sqrt[4]{2}$)不是Q的正规扩张 ,

证明: Q[x]中不可约元f(x)=x⁴‒2的根为$\sqrt[4]{2}$ , ‒$\sqrt[4]{2}$ , i$\sqrt[4]{2}$ , ‒i$\sqrt[4]{2}$

由于Q($\sqrt[4]{2}$)包含于R , 但是i$\sqrt[4]{2}$不属于R , 故Q($\sqrt[4]{2}$)不是Q的正规扩张 ,